Erklärung der Potenzregel bei Ableitungen

Question

Heyho
Meine Frage bezieht sich auf die Ableitungsregel die wie folgt aussieht:
y' = n · xn-1
Und zwar muss ich diese Ableitungsregel erklären können und ich verstehe nicht wie man genau auf diese Regel kommt. 

Answer 1

Hi,

versuch das doch eindach mal herzuleiten. Was Du dafür brauchst ist der Differentialquotient und der Binomische Lehrsatz.

f(x)= xⁿ

f'(x)= nx^n-1

Differentialquotient:

f'(x)=lim_h->0(f(x+h)-f(x)/h

lim_h->0 (x+h)ⁿ-xⁿ/h  Binomischer Lehrsatz

(x+h)ⁿ = ∑(i=0 bis n) (n über i) x^n-ihⁱ

= (n über 0) xⁿ+(n über 1) x^n-1h¹+(n über 2) x^n-2h²+(n über 3) x^n-3+h³+....+hⁿ

(x+h)ⁿ-xⁿ= (n über 0) xⁿ+(n über 1) x^n-1h¹+(n über 2) x^n-2h²+(n über 3) x^n-3+h³+....+hⁿ-xⁿ

(x+h)ⁿ-xⁿ=(n über 1) x^n-1h¹+(n über 2) x^n-2h²+(n über 3) x^n-3+h³+....+hⁿ

(x+h)ⁿ-xⁿ/h= (n über 1) x^n-1h+(n über 2) x^n-2h²+(n über 3) x^n-3h³+....+hⁿ/h 

h kürzen

(x+h)ⁿ-xⁿ/h = (n über 1) x^n-1+(n über 2) x^n-2*h+(n über 3) x^n-3h²+...h^n-1

lim_h->0

Überall wo ein h ist, wird das ganze 0, also hat man nur noch

(n über 1) x^n-1

und (n über 1) ist einfach n, also haben wir nx^n-1

Ich hab das mal versucht damals. Wenn ich irgendwo Fehler habe, bitte verbessern.

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Vielen Dank hab's endlich verstanden :D

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Hey

kein Ding :)