Ableitung mit Hilfe der Potenzregel

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

1 Bestimmen Sie die erste Ableitung. Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse mit dem GTR.
a) \( 2 x \cdot(4 x-1) \)
b) \( (5 x+3) \cdot(x+2) \)
c) \( (2-5 x) \cdot(x+2) \)
d) \( 2 x \cdot e^{x} \)
e) \( (4 x+2) \cdot e^{x} \)
f) \( (6 x+1) \cdot e^{x} \)
g) \( (3 x-2 x) \cdot e^{x} \)
h) \( \left(-x^{2}+9\right) \cdot e^{x} \)
i) \( \left(x^{2}+x-1\right) \cdot e^{x} \)
j) \( (1-2 x) \cdot e^{2 x} \)
k) \( \left(x^{2}-x\right) \cdot e^{-x} \)
1) \( (2 x+1) \cdot e^{3 x} \)

Problem/Ansatz:

Ich brauch Hilfe bei b, c, d, e, f die anderen habe ich schon. Aber diese fünf gehen über mein Niveau…

Answer 1

Hallo,

b) und c) multipliziere erst die Klammern aus oder wende die Produktregel an.

d) - f) auch hier würde ich die Produktregel anwenden.

\( f(x)=g(x) \cdot h(x) \quad \rightarrow \quad f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x) \cdot h(x)+g(x) \cdot h^{\prime}(x) \)

Beispielrechnung für d)

\(f(x)=2x\cdot e^x\\ g=2x\quad h=e^x\\ g'=2\quad h'=e^x\\f(x)=2\cdot e^x+2x\cdot e^x=e^x\cdot (2+2x)\)

Gruß, Silvia

Answer 2

k) Weg über die Quotientenregel:

\( f(x)=(x^2-x)*e^{-x} \)

\( f(x)= \frac{x^2-x}{e^x} \)

\( f´(x)=\frac{(2x-1)*e^{x}-(x^2-x)*e^{x}}{e^(2x)} \)

Da nun \( e^{x} \) im Minuenden und Subtrahenden vorkommen, darfst du mit \( e^{x} \) kürzen.

\( f´(x)=\frac{(2x-1)-(x^2-x)}{e^x} \)=\(\frac{3x-1-x^2}{e^x} \)