Potenzregel der Ableitung

Question

Aufgabe:

Wie leitet man \(\displaystyle f(x) =   - \frac{1}{2x^2} \)  ab?

Problem/Ansatz:

Könnt ihr mir helfen? Ich habe gar keine Ahnung.

Comments

Verwende die Potenzregel der Ableitung.

Answer 1

Aloha :)

Nutze die Potenzgesetze, dann kannst du wie gewohnt ableiten:$$f'(x)=\left(-\frac{1}{2x^2}\right)'=\left(-\frac{1}{2}\cdot x^{-2}\right)'=\left(-\frac12\right)\cdot(-2)x^{-3}=x^{-3}=\frac{1}{x^3}$$

Answer 2

Umschreiben zu -1/2*x^{-2} und dann ableiten.

f'=-1/2*(-2)*x^{-3}=x^{-3}=1/x^3

Answer 3

Wie leitet man \(\displaystyle f(x) =  - \frac{1}{2x^2} \)  ab?

Ableitung mit der Quotientenregel:   \(\displaystyle [\frac{Z}{N}]' =\frac{Z'\cdot N-Z\cdot N'}{N^2}\)

\(\displaystyle f(x) = \frac{-1}{2x^2} \) 

\(\displaystyle f'(x) = \frac{0 \cdot 2x^2-(-1)\cdot 4x }{4x^4} =\frac{1}{x^3}\)

Answer 4

Wie leitet man \(\displaystyle f(x) =  - \frac{1}{2x^2} \)  ab?

Es ist \(\displaystyle f(x) =  - \frac{1}{2x^2} = -\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{1}{x}\right)^2.\)

Mit der Faktorregel, der Kettenregel und den Ableitungen der Quadratfunktion und der reziproken Funktion \({(1/x)'=-1/x^2}\) folgt leicht: $$f'(x) = -\dfrac{1}{2}\cdot2\cdot\left(\dfrac{1}{x}\right)^{2-1}\cdot \left(-\dfrac{1}{x^2}\right) = \dfrac{1}{x^3}.$$ Dieser Rechenweg stützt sich nur auf solche Regeln und Ableitungen elementarer Funktion ab, die im Mathematikunterricht auch bewiesen werden.

Comments

die im Mathematikunterricht auch bewiesen werden.

Das wüsste ich aber.

Wieso kompliziert, wenn die Potenzregel schon vollkommen ausreicht? Aber immerhin besser als die Quotientenregel, die meist gar nicht mehr behandelt wird.

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ChatGPT : "Ja, die Quotientenregel wird an deutschen Gymnasien in der Regel im Mathematikunterricht gelehrt."

Was soll eigentlich dieser Hieb auf die Quotientenregel?

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Gegenfrage: Warum glaubst du dem ChatGPT-Unsinn?

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Hier wird sie auch erwähnt:

https://www.gut-erklaert.de/mathematik/mathematik-oberstufe-themen-lehrplan.html

https://www.lehrplanplus.bayern.de/fachlehrplan/lernbereich/307221

Gibt es nicht Fälle, wo sie vorteilhaft ist?

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Oder hier    Baden-Württemberg:

https://www.bildungsplaene-bw.de/site/bildungsplan/search/19359102/Lde/index.html

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Deutsche Sprache ist schon schwierig. Ich sagte meist gar nicht. Nicht mehr und nicht weniger. Aber klar, wenn man sich angegriffen fühlt, dreht man den Leuten einfach wieder die Worte im Mund um.

In diesem Punkt einer KI zu glauben, halte ich aber für höchst fragwürdig.

Was soll eigentlich dieser Hieb auf die Quotientenregel?

Eine solch simple Funktion würde NIE jemand mit der Quotientenregel ableiten, da die Potenzregel (ggf. mit Faktorregel) eben vollkommen ausreichend ist. Meinst du die Frage wirklich ernst? Es ist doch mittlerweile bekannt, dass du überwiegend alte Fragen beantwortest mit Rechenwegen, die den Aufwand in der Regel mehr als verdoppeln oder einfach nur total umständlich sind. Kann man machen, muss man aber nicht. Empfehlenswert ist das zudem auch nicht (immer).

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@Moliets: Toleranz ist hier nicht jedermanns Sache. Du stehst genauso auf der Abschussliste wie ich bei mindestens 3 Leuten. Lass dich trotzdem nicht fertigmachen! Man kann aus allen etwas lernen, vlt. gibt es Mitleser, die dafür dankbar sind. Ich sage dazu nur: Wem schadet es? Niemandem!

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Danke dir für deinen Kommentar!

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Gibt es nicht Fälle, wo sie vorteilhaft ist?

zB:

\(\displaystyle f(x)= \frac{sin(x)+x}{cos(x)+x} \)

\(\displaystyle f'(x)= \frac{(cos(x)+1)(cos(x)+x)-(sin(x)+x)(-sin(x)+1)}{(cos(x)+x)^2} \)

\(\displaystyle f'(x)=\frac{cos^2(x)+x cos(x)+cos(x)+x-(-sin^2(x) +sin(x) -xsin(x)+x    )}{(cos(x)+x)^2} \)

\(\displaystyle f'(x)=\frac{cos^2(x)+x cos(x)+cos(x)+x+sin^2(x) -sin(x) +xsin(x)-x   }{(cos(x)+x)^2} \)

Nun noch zusammenfassen.

Aber hierzu muss jemand auch die Quotientenregel in einfachen Beispielen verinnerlicht haben.

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Es wurde nie behauptet, dass die Quotientenregel nicht sinnvoll ist. Man sollte aber auch einfach mal ein bisschen bei der Realität bleiben und darf somit auch die Sinnhaftigkeit bei bestimmten Fällen durchaus in Frage stellen und/oder kritisieren. Es liegt dann an einem selbst, wenn man sowas persönlich nimmt.

Das Beispiel von Moliets ist aber wieder ein typisches Beispiel für das, was einfach nicht in der Schule behandelt wird (in der Regel und vor allem im GK nicht), weshalb es auch gar nicht zur eigentlichen Diskussion bzw. zur ursprünglichen Frage passt. Es ist aber immerhin ein Beispiel, wo die Quotientenregel auch tatsächlich sinnvoll ist. Aber wie gesagt, es ist nicht mehr Bestandteil der meisten Lehrpläne, weshalb sich die Relevanz hier auch in Grenzen hält.

Jetzt fehlt nur noch jemand, der die Ableitung über den Grenzwert des Differenzenquotienten berechnet. :)

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Läuft ja bei euch! :-)

  die im Mathematikunterricht auch bewiesen werden.

Das wüsste ich aber.

Okay, es ist doch, wie mir eine Lehrerin vor einiger Zeit mal glaubhaft versicherte, so: Es gibt einen Rahmenlehrplan, einen davon irgendwie abgeleiteten schulinternen Lehrplan, einen davon irgendwie abgeleiteten, individuellen Lehrplan der Lehrperson und darüberhinaus die wichtigste Regel von allen: "Papier ist geduldig." Aus diesen und weiteren Zutaten entsteht der Unterricht, auch im Fach Mathematik.

Hier, in NRW (D), sieht es so aus: Schulbücher, die nahe am aktuellen Rahmenlehrplan sind, beweisen (oft) die Faktorregel und die Ableitungen der Quadratfunktion sowie der reziproken Funktion über den Grenzwert des Differenzenquotienten. Die Kettenregel wird mit Einschränkungen auch bewiesen.

Die Potenzregel wird, in dem Grundkursbuch, in dem ich das gerade nachgeschlagen habe, für natürliche Exponenten bewiesen und für ganzzahlige Exponenten den Schülern als Übung aufgetragen. Dazu wird auf den Weg hingewiesen, den ich oben in meiner Antwort auch beschritten habe.

Die Quotientenregel, die ich in meiner Schulzeit noch beweisen habe dürfen, wird im genannten Buch gar nicht mehr erwähnt. Das ist eigentlich kein Wunder, denn die Funktionsklassen, für die sich diese Regel aufdrängen würde, kommen ja auch nicht mehr vor.

Interessant ist auch, dass die wirklich coolen Ableitungsregeln für die in den Prüfungsvorgaben vorgeschreibenen Typen von Funktionen, mit denen man in wenigen Schritten die Ableitung gebildet und in eine nützliche Form bringen kann, weder in Lehrplänen noch in Lehrbüchern irgendeine Erwähnung finden. Dummerweise müssen diejenigen Schüler, die solche Regeln entdecken und verwenden, diese auch noch gegenüber dem Lehrpersonal rechtfertigen. Das ist nicht schön.

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Mathebücher != Matheunterricht.

Ja, die Bücher beweisen einige Regeln teilweise noch, aber im Unterricht wird das eher spärlich besprochen. Da werden die Formeln für gewöhnlich an die Tafel geklatscht und das war es. Im GK schlimmer als im LK. Daher meine Aussage. Im Unterricht selbst wird da nichts bewiesen und wenn, dann wirklich seltenst. So ist zumindest meine Erfahrung (ebenfalls NRW).

Und ja, es ist wirklich traurig, dass der Lehrplan besonders in Mathematik immer weiter ausgedünnt wird. Auch die verschiedenen Integrationsmethoden wie partielle Integration oder Substitution findet man kaum noch im LK und im GK erst recht nicht.

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@Gast az0815 Interessanter Einblick, danke.