1. und 2. Ableitung von Funktion f(x)=-4x^2*4^x

Question

Aufgabe:

Suche 1. und 2. Ableitung von der Funktion f(x)=-4x^2*4^x

Problem/Ansatz:

Suche 1. und 2. Ableitung von der Funktion f(x)=-4x^2*4^x

Comments

Was spricht gegen die Produkt- und Kettenregel?

Answer 1

Dir wurde doch bei der vorigen Frage schon ableitungsrechner.net genannt. Das funktioniert auch hier und erfüllt das von Dir gewünschte. Wo ist denn jetzt noch ein Problem? Webseite aufrufen und eintippen musst Du schon selbst.

Bei konkreten Fragen melde Dich gerne nochmal.

Answer 2

Da der Output des Ableitungsrechners vielleicht nicht nachvollziehbar ist, es geht auch von Hand:

\(\begin{aligned} &\frac{d}{dx}\left(-4x^2\cdot 4^x \right) \quad &&\text{Produktregel} \\\\ &= \frac{d}{dx}\left(-4x^2 \right)\cdot 4^x+(-4x^2)\cdot \frac{d}{dx}\left(4^x \right) \quad &&\text{Logarithmengesetze} \\\\ &= \frac{d}{dx}\left(-4x^2 \right)\cdot 4^x+(-4x^2)\cdot \frac{d}{dx}\left(e^{\ln(4)\cdot x} \right) \quad &&\text{Potenz- und Kettenregel} \\\\ &= -8x \cdot 4^x+(-4x^2)\cdot \left(e^{\ln(4)\cdot x} \right)\cdot \ln(4) \quad &&\text{Klammern auflösen} \\\\ &= -8x \cdot 4^x - 4x^2 \cdot 4^x \cdot \ln(4) \quad &&\text{ausklammern} \\\\ &= -4^{x+1} \cdot (2x+x^2\cdot \ln(4)) \end{aligned}\)

... und ebenso für die zweite Ableitung.

Comments

Da der Output des Ableitungsrechners vielleicht nicht nachvollziehbar ist

warum sollte dann Dein Rechenweg nachvollziehbar sein? Der Ableitungsrechner erklärt es sogar noch ausführlicher.

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für den Fragesteller "nachvollziehbar"

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Aber der hat noch gar nicht gesagt, dass es nicht nachvollziehbar ist. Da empfiehlt sich noch weitere Varianten an Erklärungen bereitzustellen ;-)

Answer 3

Funktion & Ableitungen

f(x) = - 4·x^2·4^x
f'(x) = - 4^x·(4·LN(4)·x^2 + 8·x)
f''(x) = - 4^x·(4·LN^2(4)·x^2 + 16·LN(4)·x + 8)

Hier die Kontroll-Lösungen zu den 8 Fragen der Kurvendiskussion

f'(-0.91) = 0.7613088914
f''(-0.91) = 1.647959639
f'(x) = 0 → x = - 1/LN(2) = - 1.442695040
f(- 1/LN(2)) = - 4·e^(-2)/LN(2)^2 = - 1.126730642
f''(x) = 0 → x = - 2.462834487
f''(x) = 0 → x = - 0.4225555942
f(- 2.462834487) = - 0.7982819951
f(- 0.4225555942) = - 0.3975794105

Wenn du genauer sagst, wobei du dort Probleme hast, kann man auch gezielter weiterhelfen.

Grundsätzlich solltest du für die oberen Sachen 3 Dinge können. Ableitungen bilden, Terme berechnen und Gleichungen auflösen.

Answer 4

Hallo.

1) Wiederholung der Differentiation mittels der Produktregel.

Produktregel. Sei f : U —> |R eine stetig differenzierbare Funktion, wobei U ein Intervall in |R ist und es eine Teilmenge J von U gibt, sodass für alle x ∈ J dann f(x) = a(x) b(x) gilt, wobei a,b : J —> |R stetig differenzierbare Funktionen sind. Dann gilt für alle x ∈ |R für das Differenzial Df : U —> |R von f die Produktregel (Leibnizsche Regel)  

Df(x) = a(x) Db(x) + b(x) Da(x) für alle x ∈ J.

2) Zur Aufgabe.

Gegeben ist die Funktion f : |R —> |R definiert als f(x) := -4x^2 * 4^x. Hier gilt für J = |R dann f(x) = a(x) b(x), wobei a, b : |R —> |R gegeben sind als a(x) := -4x^2 und b(x) := 4^x.

Vorab gilt für z_a : |R —> |R, z(x) := a^x mit a > 0, dann die Regel Dz_a(x) = ln(a) a^x für alle a > 0. D.h. für a = 4 ist z_4 = b und es gilt dann Db(x) = ln(4) 4^x für alle x ∈ |R.

=> f = ab, d.h. für alle x ∈ |R ist f(x) = a(x) b(x).

Dann folgt mit der Produktregel

Df(x) = a(x) Db(x) + Da(x) b(x)

= -4x^2 (ln(4) 4^x) + (-8x) 4^x

= -4 ln(4) x^2 4^x - 8x 4^x

= x 4^x (-4 ln(4) x - 8) für alle x ∈ |R.

Also ist Df : |R —> |R, Df(x) = x 4^x (8- 4 ln(4)x) die erste Ableitungsfunktion von f nach der Variablen x.

Da Df schon wieder als Produkt steht, kannst du die zweite Ableitung D^2 f : |R —> |R analog mit der Produktregel machen.

Comments

Darf man fragen wie lange Du aus der Schule bist? Das ist so fernab der Schule, dass dem Fragesteller (dem ich unterstelle Schüler/in zu sein) damit überhaupt nicht geholfen ist und man sich fragt, ob Du schon zu lange aus der Schule bist, dass Du Dich an sowas nicht mehr erinnerst.

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Wie nannte er es letztens? Er möchte es wissenschaftlicher machen. Kritik diesbezüglich interessiert ihn leider nicht. Meiner Meinung nach ist die Antwort mehr als unangemessen. Außerdem stellt sie inhaltlich nichts Neues dar, was nicht schon von anderen vorher genannt wurde.

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Naja also ich finde, das muss man schon irgendwie verstehen können…

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Wer ist "man"? Ein Schüler aus dem Gymnasium? Sicher nicht. Ich wage zu behaupten, dass Du damals das ebenfalls nicht verstanden hättest. Und ganz besonders nicht Deine Mitschüler, die ihre Stärken in den Sprachen und Co und weniger in Mathematik hatten!

Wenn Du aus einem EliteGymnasium kommst (gibt es sowas?), dann sei Dir versichert, dass das kein Teil des Unterrichts ist, Mathe in obiger Ausführung zu verstehen.

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Kannst du mir genau sagen, was denn an dem Beitrag so schwer sein soll zu verstehen?

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Da fängt es schon an "Sei f : U —> |R"

oder sowas "Teilmenge J von U"

oder auch hier "für alle x ∈ J dann f(x) = a(x) b(x)"

Das wird meines Wissens in der Schule so gar nicht oder kaum verwendet. Diese ordentliche Sprache der Mathematik erlernt man in der Uni.

Hier komplett "ohne Formalien" mit der h-Methode: https://www.schule-bw.de/faecher-und-schularten/mathematisch-naturwissenschaftliche-faecher/mathematik/unterrichtsmaterialien/sekundarstufe2/analysis/diff/produktregel.html

Und das ist die Herleitung! Und komtm dennoch ohne Formaliengeschwulst aus. Auf Folie 20 findest Du, was man wohl in der Schule angeben würde. In kurz

Produktregel: \(f(x) = u(x)\cdot v(x)\)

\(f'(x) = u'(x)\cdot v(x) + u(x)\cdot v'(x)\)

Und dann würde man direkt zur Aufgabe gehen. 2 Zeilen + die Rechung -> Fertig. Prinzipiell also das was Du ab Deinem Fettdruck stehen hast.

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Kannst du mir genau sagen, was denn an dem Beitrag so schwer sein soll zu verstehen?

Sorry, wenn ich das jetzt so sagen muss, aber diese Äußerung finde ich schon sehr anmaßend. Bedenke bitte, dass hier Leute herkommen, die Hilfe suchen, weil sie Schwierigkeiten haben. Dann ein entsprechendes (wissenschaftliches) Niveau zu verlangen und die Kenntnis sämtlicher Notation, ist einfach maßlos übertrieben. Es hat hier eben nicht jeder dein Wissen und dein Niveau. Genauso studiert hier auch nicht jeder Mathematik. Das ständig als gegeben anzunehmen, finde ich auf dieser Plattform einfach falsch.

Leider weiß ich aus Erfahrung, dass viele Lehrer, vor allem die Quereinsteiger an Berufsschulen, genau so unterrichten. Und dann wundert man sich, dass die Schüler nicht mehr mitkommen. Ja, ein gewisser Standard und eine gewisse Sorgfalt sollte in der Mathematik vorhanden sein, gerade auch, wenn man unterrichtet. Unknown hat hier mit dem Wort "Formaliengeschwulst" allerdings die richtige Beschreibung getroffen. Manchmal ist weniger eben mehr.

Answer 5

Produktregel mit Faktor-und Kettenregel

u= -4x^2, u' = -8x

v= 4^x, v= 4^x*ln4  (Es gilt: f(x) = a^x -> f'(x) = f(x)*ln´(a) = a^x*ln(a), s. Formelsammlung)

zusammensetzen:

-8x*4^x -4x^2*ln4*4^x

-4x*4^x ausklammern:

f '(x) = -4x*4^x*(2+x*ln4)= -x*4^(x+1)*(2+x*ln4)

2. Ableitung:

u= -4x*4^x, u'= -4*4^x-4x*4^x*ln4 = -4*4^x*(1+ln4*x), -4*4^x= -4^1*4^x= -4^(x+1)

v= 2+x*ln4, v' = ln4

zusammensetzen:

....

Zur Kontrolle mit Lösungsweg:

https://www.ableitungsrechner.net/