Weise durch partielle Integration nach, dass f2 mit f2(x) = 4x*lnx - x*ln^2(x) - 4x eine Stammfunktion von f2 ist.

Question

Aufgabe:

Weise durch partielle Integration nach, dass f2 mit f2(x) = 4x*lnx - x*ln^2(x) - 4x eine Stammfunktion von f2 ist.

Nachtrag:

fk(x) = lnx*(k - lnx)

f2(x) = lnx*(2 - lnx)

Answer 1

f2(x) = lnx*(2-lnx)

Partielle Integration: ∫fg'=fg-∫f'g

Wähle f(x)=lnx und g'(x)=2-lnx, dann ist f'(x)=1/x und g(x)=2x-(xlnx-x)=2x-xlnx+x=3x-xlnx

Also ∫lnx*(2-lnx) dx = lnx*(3x-xlnx) - ∫1/x*(3x-xlnx) dx

= 3xlnx-xln^2(x) - ∫3-lnx dx

= 3xlnx-xln^2(x) - (3x-(xlnx-x))

= 3xlnx-xln^2(x) - (3x-xlnx+x)

= 3xlnx-xln^2(x) - 3x+xlnx-x

= 4xlnx-xln^2(x)-4x