Kurvendiskussion der Kurvenschar fa (x)= x^4-ax^2, wo ist der Fehler?

Question

Wir sollen eine Kurvendiskussion einer Kurvenschar durchführen und ich kann meinen Fehler nicht finden, denn am Ende bekomme ich bei der Punktberechnung keinen Punkt raus. Vielen Dank für's drüber schauen:

\( f_{a}(x)=x^{4}-a x^{2} ; a>0 \quad a=2 ; 4 \)
\( f_{a}^{\prime}(x)=4 x^{3}-2 a x \)
\( f^{\prime} a(x)=12 x^{2}-2 a \)
\( f^{\prime \prime} a(x)=24 x \)

Symmetrie:
\( f(x)=f(-x) \quad \Rightarrow \) Symmetrie zur y-Achse
\( -f(x) \neq f(-x) \Rightarrow \) keine Punktsymmetrie

Schnittstelle
\( f_{a}(x)=x^{4}-a x^{2} \quad \quad | x^{2}-a=01+a \)
\( 0=x^{2} \cdot\left(x^{2}-a\right) \quad | x^{2}=a \mid \sqrt{1} \)
\( x_{112}=0 \quad | x_{314}=\pm \sqrt{a} \)
\( x_{314}=\pm \sqrt{a} \)

\( P_{y}(0|0) ~ P_{1}(-\sqrt{a} \mid 0) ~ P_{2}(\sqrt{a} \mid 0) ~ P_{3}(0|0) \)

Extrempunkte:
nB: \( f_{a}^{\prime}(x)=4 x^{3}-2 a x=0 \quad |: 4 \)
\( =x^{3}-0,5 a x=0 \quad \) I ausklammen
\( \begin{aligned} x^{2}-0,5 a=0 \quad |+\frac{1}{2} a \\ x^{2}=0,5 a \mid \sqrt{1} &=x \cdot\left(x^{2}-0,5 a\right)=0 \\ & x_{1}=0 \end{aligned} \)

\( n B: f_{a}^{\prime}(0,71 a)=12 \cdot(0,71 a)^{2}-2 a=6,521 a>0 \mathrm{~min} \)
\( f_{a}^{\prime \prime}(-0,71 a)=12 \cdot(-0,71 a)^{2}-2 a=-6,52 a<0 \quad \operatorname{Max} \)

Punktberechnung
\( f_{a}(0,71 a)= \)
\( f_{a}(-0,71 a)= \)

Answer 1

Hi, Deine Extremstellen stimmen nicht. Die Wurzel muss sich auch über das a erstrecken! Außerdem kannst Du einfacher über das Vorzeichenwechselkriterium oder den Kurvenverlauf als hinreichende Bedingung argumentieren.

Comments

Also müsste ich mit √0,5a weiter machen?

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Ja aber bitte Klammern. √(0.5a) oder √(a/2). Letzteres würde ich bevorzugen.

Answer 2

rechne doch besser mit x = +- wurzel(o,5a),  (siehe 1.Antwort)
dann ist x^2=0,5a    und   x^4= 0,25a^2   dann ist  f( √(o,5a) = -0,5* a^2

Also haben diese beiden extrempunkte die y-Koordinate -0,5* a^2

und für x=0 kommt als Hochpunkt  [ f '' (o) < 0 ]           (o/o) raus.

Comments

Wahrscheinlich bin ich grad echt zu doof, wenn ich die √0,5a in meine Ausgangsfunktion einsetze, dann hab ich folgendes:

(√0,5a)⁴ - a * (√0,5a)²  =0

und mein P_min wäre demnach (√0,5a I 0)

Answer 3

Du musst aus a auch noch die Wurzel ziehen. Und ich würde die Wurzel so stehenlassen.

Extrempunkte f'(x) = 0

4·x^3 - 2·a·x = 0
x·(4·x^2 - 2·a) = 0
x = 0

4·x^2 - 2·a = 0
x = ±√(a/2) für a < 0 keinen, für a = 0 einen und für a > 0 drei Extrempunkte.

f(0) = 0 für a ≤ 0 TP(0|0) und für a > 0 HP(0|0)

f(±√(a/2)) = √(a/2)^4 - a·√(a/2)^2 = (a/2)^2 - a·(a/2) = a^2/4 - a^2/2 = -a^2/4 für a ≥ 0 TP(±√(a/2)|-a^2/4)

Comments

Deine Antwort stimmt zumindest mit dem Lösungsbuch überein. Jetzt versuch ich das mal nachzuvollziehen wo zum Henker dann mein Denkfehler liegt :/