Mit Quotientenkriterium beweisen, dass Reihe konvergiert

Question

Ich soll mit dem Quotientenkriterium beweisen, dass die folgende Reihe konvergiert:

∑(von n=1 bis ∞) ((n^2+n)/3^n)

Nach Anwendung des Quotientenkriteriums und einigen Umformungen bin ich auf

(1+3/n+2/n^2)/(3+3/n) gekommen.Dann habe ich gesagt:

lim(n→∞) (1+3/n+2/n^2)/(3+3/n) = 1/3

Darf ich das überhaupt so machen? Und Stimmt mein Ergebnis?

Das reicht dann doch als Beweis, oder?

Answer 1

Ich kann deine Umformungen zwar nich ganz nachvollziehen aber das Ergebnis ist richtig.

((n + 1)^2 + (n + 1)) / 3^{n + 1} / ((n^2 + n) / 3^n)

= ((n + 1)^2 + (n + 1)) / 3^{n + 1} * (3^n / (n^2 + n))

= ((n + 1)^2 + (n + 1))·3^n / (3^{n + 1}·(n^2 + n))

= ((n + 1)^2 + (n + 1))·3^n / (3^{n + 1}·n·(n + 1))

= ((n + 1) + 1) / (3·n)

= (n + 2) / (3·n)

Grenzwert ist hier sicher 1/3

Comments

Okay, danke!

Ich war mir unsicher, wie ich es aufschreiben soll. Ich hatte das (n+1)^2 aufgelöst, so dass ich im Zähler (n^2+3n+2)*3^n stehen hatte und im Nenner (3^{n+1}*(n^2+n). Dann habe ich n^2 ausgeklammert und gekürzt. So kam ich auf oben stehendes, wo ich dann mit lim weitergemacht habe. Ist das auch erlaubt?

Das von dir sieht aber eleganter aus.

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Ja das ist auch erlaubt.

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ist die aufgabe von dir vom anfang an gelöst oder hast du da weiter gemacht wo der andere aufgehört hat ? bin bisschen dizzy

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Ich habe an+1 durch an geteilt. also von anfang an gerechnet.