Fehlende Parameter der Wachstumsfunktion für Zuckerrüben berechnen: y(t) = M / (1 + b * e^{ -k * t} )

Question

Ich habe folgendes Beispiel:

Das Längenwachstum einer Zuckerrübe ist zu modellieren. Die Pflanze hat ursprünglich eine Länge von 0,5 cm. Die Länge bei der Ernte überschreitet nicht den Wert von 21,5 cm. Nach 17 Wochen beträgt die Länge 18,5 cm. In der restlichen Zeit bis zur Ernte wächst die Rübe nur noch wenig in der Länge und reift.

Berechnen Sie die fehlenden Parameter der Wachstumsfunktion y(t)!

y(t) = M / (1 + b * e ^{-k * t} )

Bestimmen Sie aus den gegebenen Daten M, b und k.

Mein Problem ist, dass ich nicht verstehe was in diesem Zusammenhang M, b und k ausdrücken sollen.
für t kann ich denk ich mal 17 einsetzen- aber weiter komm ich leider gerade nicht!

Answer 1

y(17) = 18.8      (I)

Du kannst zusätzlich noch

y(0) = 0.5     (II)

und

lim y(t) = 21.5  für t gegen unendlich.  (III)

Probier das mal damit.

(III) -----> 

lim M / (1 + b * e ^{-k * t} )  = M/(1+0) = M -----> M = 21.5

(II)

y(0) = 21.5 / (1 + b * e ^{-k * 0} )  = 21.5 / ( 1+b*1) = 21.5/(1+b) = 0.5 

21.5/(1+b) = 0.5        

21.5 = 0.5(1+b)

43 = 1+b

42 = b

und jetzt erst mal mitteilen, ob so weit alles ok ist und dann noch mit Hilfe von (I) das k bestimmen.

Comments

kleiner Fehlerhinweis
y(17) = 18.8

sondern
y(17) = 18.5

Answer 2

h(t) = m/(1 + b·e^{- k·t})

h(0) = 0.5
m/(b + 1) = 0.5

h(∞) = 21.5
m = 21.5

h(17) = 18.5
m/(1 + b·e^{- k·17})  = 18.5

Comments

Lösen:

Nur wenn du selber nicht weiter kommst

21.5/(b + 1) = 0.5 --> b = 42

21.5/(1 + 42·e^{- k·17})  = 18.5 --> k = 0.3269

Damit lautet die Funktion

h(t) = 21.5/(1 + 42·e^{-0.3269t})

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Mathecoach meinte hier sicher

h(t) = 21.5/(1 + 42·e^-0.3269·t) 

EDIT: erledigt.

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Ja. Es sollten 21.5 sein. Danke Lu für die Berichtigung.

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Vor allem meinte er sicher  k = ln(259) / 17  ≠  0,3376

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@mathecoach
Die Werte deiner ersten Berechnung stimmen mit meiner Rechnung
überein.

Die Darstellung der Formel wäre besser
(  Exponent korrekt dargestellt )

h ( t ) = 21.5 / (1 + 42·e^{-0.3269*t} )

Ich habe LU schon auf einen Fehler aufmerksam gemacht.

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Gast: Es kommt gelegentlich zu Caret-Konflikten, da die automatische Umwandlung von ^  zwingend bei einer schliessenden Klammer nach einem ^  den Exponenten abbricht. Der Editor versteht die Exponenten nicht.

Es ist gut, wenn du Caret-Konflikte jeweils berichtigst.

Answer 3

das Pflanzenwachstum geht bei t geht gegen ∞ gegen null bzw
der Grenzwert ist 21.5 cm.

Glücklicherweise ist die Formel schon vorgegeben

y(t) = M / (1 + b * e ^{-k * t} )

Es bedarf jedoch, da stimme ich dir zu, des Spürsinns eines
Sherlock  Holmes herauszufinden welche Variable was bedeutet.

lim t -> ∞ = M / irgendwas = 21.5
Falls der Wert für b * e ^{-k * t}  gegen 0 geht hätten wir
M / ( 1 + 0 ) = M
Es liegt nahe für M = 21.5 anzusetzen.

y(t) = 21.5 / (1 + b * e ^{-k * t} )

Jetzt sind  noch 2 Punkte gegeben
( 0  | 0.5 ) und ( 17 Wochen  | 18.5 cm )