Wachstumsfunktion Basis e Bevölkerung

Question

Die Bevölkerung eines Staates wachse entsprechend der Funktion N mit N(t) = N0 (e^a(t-t0))

Dabei ist No= 120*106 die Anzahl der Einwohner im Jahr 2005, to= 2005 und a = 0,03/ 1Jahr die Wachstumsrate.

a) Wie groß wird die Bevölkerungszahl im Jahre 2010 sein?

b) Vor wie viel Jahren war die Bevölkerungszahl halb so groß wie im Jahre 2005?

c) Um wie viel % nimmt die Bevölkerungszahl jährlich zu? Vergleichen sie mit der Wachstumsrate!

Comments

sry, natürlich heißst es 120*10^6

Answer 1

a) Einfach die gegebenen Werte in die Funktion

N ( t ) = No * e ^{a ( t - t0 )}

einsetzen:

N ( 2010 ) = 120 * 10 ⁶ * e ^{0,03 * ( 2010 - 2005 )} = 139,42 * 10 ⁶

 

b) Zu welchem Zeitpunkt t galt also:

120 * 10 ⁶ * e ^{0,03 * ( t - 2005 )} = 60 * 10 ⁶

<=>  0,5 = e ^{0,03 * ( t - 2005 )}

<=> ln ( 0,5 ) = 0,03 * ( t - 2005 )

<=> t = ln ( 0,5 ) / 0,03 + 2005 = 1981,9

Also :
Kurz vor Ende des Jahres 1981 war die Bevölkerung halb so groß wie im Jahre 2005, also vor etwa 23 Jahren.

 

c) N ( 2006 ) / N ( 2005 )

= 120 * 10 ⁶ * e ^{0,03 * ( 2006 - 2005 )} / 120 * 10 ⁶ * e ^{0,03 * ( 2005 - 2005 )}

= e ^0,03 / 1 = 1,03

Die Bevölkerung nimmt also jährlich um 3 % auf das 1,03 des Vorjahreswertes zu.

3 % = 0,03

Die Wachstumsrate entspricht also dem jählichen prozentualen Zuwachs.

Comments

kannst du bitte ausführlich schreiben, was du dividierst und wie du was aufhebst z.b das e

---

Bei a ) wird einfach nur mit dem Taschenrechner ausgerechnet

Bei b) logarithmiere ich in der dritten Zeile auf beiden Seiten mit dem natürlichen Logarithmus. Dadurch wird links die 0,5 zu ln ( 0,5 ) und rechts steht der ursprüngliche Exponent der e-Funktion. (Der natürliche Logarithmus ist ja die Umklehrfunktion zur e-Funktion, es gilt also: ln ( e ^x ) = x )

Dann wird nach t aufgelöst und ausgerechnet.

Bei c) schließlich setze ich die Bevölkerungszahl des Jahres 2006 ins Verhältnis zur Bevölkerunszahl des Jahres 2005. Dieses Verhältnis gibt an, auf wieviel Prozent der Bevölkerungzahl des Jahres 2005 die Bevölkerungszahl in 2006 angewachsen ist, nämlich auf 1,03 = 103%, Das bedeutet, dass die Bevölkerungszahl um 0,03 =3 % gewachsen ist.

Bei der Berechnung kürzt sich 120 * 10 ⁶ heraus und es verbleibt:

e ^{0,03 * ( 2006 - 2005 )} / e ^{0,03 * ( 2005 - 2005 )}

= e ^{0,03 * 1} / e ^{0,03 * 0}

= e ^0,03/ e ⁰

= e ^0,03/ 1

= e ^0,03

Wenn du mit bestimmten Umformungen immer noch Probeleme hast, dann schreibe bitte genau diese Umformungen hin.