Stammfunktion F von f(x) = (x-1)(x+1) bestimmen mit F(1)=2.

Question

Aufgabe:

A) Geben Sie zu f mit f(x)=(x-1)(x+1) eine Stammfunktion F mit F(1)=2 an.

B) Bestimmen sie einen Funktionsterm der Integralfunktion: \( J_{-1} \) mit \( J_{-1}(x)=\int \limits_{-1}^{x} f(t) d t \)

Comments

a) Geben sie zu f mit f(x)=(x-1)(x+1) eine Stammfunktion F mit F(1)=2 an.

f(x) = (x-1)(x+1) 3. Binomsiche Formel

f(x) = x²-1

Jetzt kannst Du die Stammfunktion einfach summandenweise bilden, also einfach mit der Formel F(x)= 1/(n+1)*xⁿ⁺¹
F(x)= 1/3x³-x

jetzt kannst Du mal weiter machen mit F(1)=2

Answer 1

Erstmal f(x) umformen:

f(x) = ( x - 1 ) · ( x + 1 ) = x² + x - x - 1 = x² - 1

Dann integrieren:

∫ f(x) dx = ∫ ( x² -1 ) dx = 1/3 · x³ - x + c

Den Wert für c anhand der Bedingung suchen:

F(1) = 2 = 1/3 · 1³ - 1 + c

2 = - 2/3 + c

c = 8/3

F(x) = 1/3 · x³ - x + 8/3

Comments

Ich versteht nicht ganz wieso ich c suchen muss

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Es ist ja in der Fragestellung verlangt, dass F(1) = 2.

Das ist im allgemeinen bei F(x) = 1/3 · x³ - x + c nicht einfach der Fall.

Answer 2

F(x) = 1/3 · x³ - x + 8/3
jetzt besser
F ( t ) = 1/3 · t³ - t + 8/3
∫ _-1^x  f ( t ) dt = [ F ( t )  ]_-1^x
I ( x ) = 1/3 · x³ - x + 8/3 - ( 1/3 · (-1)³ - (-1) + 8/3 )
I ( x ) = 1/3 · x³ - x + 8/3 + 10 / 3
I ( x ) = 1/3 · x³ - x  + 18 /3