Ist die Folgende Reihe Konvergent? Mit Begründung!

Question

ich weiß überhaupt nicht wie ich hier anfangen soll bzw. welches Kriterium ich benutzen soll..

$$\sum_{n=1}^{\infty }{\left( 4-\left( -1 \right)^{n} \right)^{-n}}$$

Answer 1

Schreibe mal die ersten Glieder der Reihe auf. Man könnte die Reihe nach oben Abschätzen mit

∑ (n = 1 bis ∞) 1/3^n = 1/2

Diese Reihe konvergiert. Da jetzt allerdings noch jedes zweite Glied kleiner ist wird die Reihe auch konvergieren.

Comments

wie kommst du denn auf 1/3ⁿ und 1/2?

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Hast du die ersten Glieder der Reihe mal notiert. Jedes zweite ist in der Form (1/3)^n. Das solltest du erkennen können.

Wie man dann auf 1/2 kommt brauchst du nur wissen wenn ihr geometrische Reihen gemacht habt.

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kannst du dann vielleicht die ml kurz schreiben.. ich weiß gerade leider nicht, wie ich die ersten Glieder der Reih machen soll

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(4 - (-1)^n)^{-n}

1 / (4 - (-1)^n)^n

Du wirst doch für n hier mal 1, 2, 3, 4 einsetzen und den Term ausrechnen können oder nicht?

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das habe ich bereits getan, ich komme aber immer auf werte die Richtung 0 streben.

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Das sollte es auch mindestens für eine konvergente Reihe.

Hier mal die ersten 10 Glieder

[1, 1/5;
2, 1/9;
3, 1/125;
4, 1/81;
5, 1/3125;
6, 1/729;
7, 1/78125;
8, 1/6561;
9, 1/1953125; 
10, 1/59049]

die Geraden haben die Form 1/3^n

und die Ungeraden die Form 1/5^n

Da ein 1/5^n wohl immer kleiner ist als 1/3^n kann ich wohl sicher untersuchen ob 1/3^n konvergent ist.