Du musst dafür die Konvergenzkriterien nutzen, die ihr schon hattet. Du betrachtest dabei immer den Limessuperior. Wann man welches Kriterium nutzen sollte, hängt von der Beschaffenheit der Reihe ab. Mit einigen Übungen pro Kriterium bekommt man da schon ein gutes Auge dafür.
Bei (2) würde ich das Quotientenkriterium benutzen. Dann hat man also:
$$ \limsup_{n \to \infty}{\Bigg|\frac{a_{n+1}}{a_n}\Bigg|}=\limsup_{n \to \infty}{\Bigg|\frac{\frac{((n+1)!)^2}{(2(n+1))!}}{\frac{(n!)^2}{(2n)!}}\Bigg|}\\=\limsup_{n \to \infty}{\Bigg|\frac{((n+1)!)^2}{(2(n+1))!}\cdot \frac{(2n)!}{(n!)^2}\Bigg|}\\=\limsup_{n \to \infty}{\Bigg|\frac{(n+1)!\cdot(n+1)!}{(2n+2)!}\cdot \frac{(2n)!}{n!\cdot n!}\Bigg|}\\=\limsup_{n \to \infty}{\Bigg|\frac{(n+1)\cdot n!\cdot(n+1)\cdot n!}{(2n+2)\cdot(2n+1)\cdot (2n)!}\cdot \frac{(2n)!}{n!\cdot n!}\Bigg|}\\=\limsup_{n \to \infty}{\Bigg|\frac{(n+1)\cdot 1\cdot(n+1)\cdot 1}{(2n+2)\cdot(2n+1)\cdot 1}\cdot \frac{1}{1 \cdot 1}\Bigg|}\\=\limsup_{n \to \infty}{\Bigg|\frac{(n+1)\cdot(n+1)}{(2n+2)\cdot(2n+1)}\Bigg|}\\=\limsup_{n \to \infty}{\Bigg|\frac{(n+1)\cdot(n+1)}{2\cdot(n+1)\cdot(2n+1)}\Bigg|}\\=\limsup_{n \to \infty}{\Bigg|\frac{n+1}{4n+2}\Bigg|}\\=\limsup_{n \to \infty}{\Bigg|\frac{\frac{n}{n}+\frac{1}{n}}{\frac{4n}{n}+\frac{2}{n}}\Bigg|}\\=\limsup_{n \to \infty}{\Bigg|\frac{1+\frac{1}{n}}{4+\frac{2}{n}}\Bigg|}=\frac{1}{4}<1 $$
Und weil hier der Grenzwert echt kleiner 1 ist, ist diese Reihe nach dem Quotientenkriterium (absolut) konvergent.
