Beweis für trigonometrische Funktion? u(a) =1/cos a - sin a* tan a /2

Question

Experten der M.-Gemeinde,

die Funktion u(a) =1/cos a - sin a* tan a /2  zeigt zwischen a= 0...90° einen Werteverlauf von => 1...∞

Gibt es dafür eine (einfache) Beweisführung ?

Über Hinweise würde ich mich sehr freuen.  

Comments

Ist es denn (tan a) / 2 oder tan (a/2)?

Du hast unten 2 Antworten für die beiden Fälle.

---

Kommentar1  Fragesteller: Es ist  (tan a) / 2 !  Sorry, beim Text schreiben ist mir der beabsichtigte
                                                  Bruchstrich unter (tan a) nicht gelungen.
Übrigens: Den dadurch verursachten Eingabefehler sowie den Wertedreher für cos a  hatte ich bereits bemerkt. Null Problem.
Dank an alle Beteiligten.
Günter K.

Answer 1

Ich denke das lässt sich mit einer Grenzwertbetrachtung zeigen.

1. Zunächst wandel ich den Tangens um (das steht bei mir in der Formelsammlung unter "Halberwinkel").

 

2. Dann kommt die

 

Für α→0:
cos(α) = 1, sin(α) = 0
Der erste Bruch wird 1, der zweite 0, insgesamt also 1.

Für α→π/2:
cos(α) = 0, sin(α) = 1
Damit sieht man, der erste bruch geht gegen ∞, der zweite gegen 1, insgesamt also gegen ∞.

Comments

Schöner Nachweis, aber jast du hier eventuell einen kleinen Dreher?

Für α→0: cos(α) = 0, sin(α) = 1

müsste doch heißen: Für α→0: cos(0) = 1, sin(0) = 0

Gleichfalls bei: Für α→π/2: cos(α) = 1, sin(α) = 0

müsste doch sein: Für α→π/2: cos(π/2) = 0, sin(π/2) = 1

So sieht man es auch beim Graphen der Funktion aus der Frage: 

---

Oh, ja Du hast recht. Ich schreib den Admin an, damit er das ausbessert.

---

Erledigt. Ab 2000 Punkten hast du übrigens die Chance, Moderator zu werden. Dann kannst du diese Änderungen auch selbst vornehmen :)

Answer 2

f(x) = 1/cos(a) - sin(a)·tan(a)/2
= 1/cos(a) - sin(a)·sin(a)/(2*cos(a))
= 2/(2*cos(a)) - sin(a)·sin(a)/(2*cos(a))
= (2 - sin(a)^2)/(2*cos(a))
= (2 - (1 - cos(a)^2))/(2*cos(a))
= (1 + cos(a)^2)/(2*cos(a))
= 1/(2*cos(a)) + cos(a)/2

 

f(0) = 1/(2*cos(0)) + cos(0)/2 = 1/2 + 1/2 = 1

f(90) = 1/(2*cos(90)) + cos(90)/2 = 1/(2*0) + 0/2 = ∞

f '(x) = sin(a)/(2·cos(a)^2) - sin(a)/2
= sin(a)/(2·cos(a)^2) - (sin(a)·cos(a)^2)/(2·cos(a)^2)
= (sin(a) - (sin(a)·cos(a)^2))/(2·cos(a)^2)
= (sin(a) - (sin(a)·(1 - sin(a)^2)))/(2·cos(a)^2)
= (sin(a) - (sin(a) - sin(a)^3))/(2·cos(a)^2)
= (sin(a) - sin(a) + sin(a)^3)/(2·cos(a)^2)
= (sin(a)^3)/(2·cos(a)^2)

Hier gibt es keine Nullstelle und keine Unstetigkeitsstelle im Bereich ]0;90[, daher ist die Funktion in dem Bereich monoton steigend.

Damit wäre das geforderte gezeigt. Das würde ich so machen. Ich weiß nicht ob es das einfachste ist. Aber ich denke es ist zumindest nachvollziehbar.