Zeigen das lim = 0 ist

Question

Ich habe folgende Aufgabe:
ak = $$ \frac { { 2 }^{ n } }{ n! } $$
Zeigen sie das lim ak = 0 ist.

Ich bin folgendermassen vorgegangen:
Ich habe zu $$ \frac { { 2 }^{ n } }{ 1 } *\quad \frac { 1 }{ n! } $$ umgeformt
und $$ \frac { 1 }{ n! } $$ geht ja gegen 0. Den 2. Faktor muss ich nicht beachten da 0 * irgendwas = 0 ergibt.
Ist das richtig so?

Answer 1

Hi,

nein das ist falsch, da der andere Faktor doch auch von n abhängt. Nach deiner Logik würde ja auch die Folge

$$a_n =  \frac{n^2}{n} $$ gegen Null gehen, was offensichtlich falsch ist, da \( a_n = n \).

Du könntest hier zum Beispiel mit dem Sandwich-Kriterium arbeiten und eine obere Abschätzung für deine Folge (nennen wir sie mal \(a_n\) ) durch eine anderen Nullfolge \(b_n\) durchführen. Dann bräuchtest du nur zu zeigen, dass ab einem \( n_0 \in \mathbb{N} \) gilt:

$$ 0 \leq a_n \leq b_n \quad \forall n \geq n_0 $$

Gruß