Zeigen Sie: lim infn→∞ an ≤ lim infn→∞1/n∑nk=1 ak ≤ lim supn→∞1/n∑nk=1ak ≤ lim supn→∞an

Question

Aufgabe:

Seien (an) eine beschränkte reelle Folge. Zeigen Sie:
lim inf_n→∞ a_n ≤ lim inf_n→∞1/n∑ⁿ_k=1 a_k ≤ lim sup_n→∞1/n∑ⁿ_k=1a_k ≤ lim sup_n→∞a_n

Problem/Ansatz:

Wie geht man das an?

Answer 1

Hallo

gibt dem kleinsten Element von ak einen Namen ebenso dem größten,, dann benutze, dass der Mittelwert von n Zahlen größer ist als die kleinste, entsprechend mit der größten und du weisst ja u<ak<o wenn u und o die untere und obere Schranken sind.

lul

Comments

gibt dem kleinsten Element von ak einen Namen ebenso dem größten,, dann benutze, dass der Mittelwert von n Zahlen größer ist als die kleinste, entsprechend mit der größten und du weisst ja u<ak<o wenn u und o die untere und obere Schranken sind.

Also wenn ich es richtig verstehe heißt das:

lim inf_n→∞1/n∑ⁿ_k=1 a_k ≤ lim sup_n→∞1/n∑ⁿ_k=1a_k

Sei das kleinste Element von a_k a₁ und das größte a_n:

⇔ lim inf_n→∞1/n * (a₁ + (∑^n-1_k=2 a_k) + a_n) ≤ lim sup_n→∞1/n * ( a₁ + (∑^n-1_k=2a_k)    +  a_n)

Aber a₁ < 1/n * ( ∑^n-1_k=2 a_k) < a_n
a₁ ist eine untere Schranke von ∑^n-1_k=2 a_k

a_n ist eine obere Schranke von ∑^n-1_k=2 a_k

Und daraus folgt aus der Ungleichung aus der Aufgabe:
a_n0 < a₁/n < a_n/n < a_n
 ⇔ n* a_n0 < a1 < a_n < a_n * n

Verstehe ich das richtig?

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Hallo

a1 muss ja nicht das kleinste Element sein, da ja nichts davon gesagt ist, dass das eine monoton steigende folge sein muss.

etwas ausführlicher musst du schon sein

\( 1/n\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n} \) <\(1/n \sum\limits_{n=1}^{\infty}{a} \) =1/n*n*a wenn a liminf a_n

entsprechend die andere Seite

lul

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Achso, demnach hätte man also folgendes:

lim inf_n→∞ a_n ≤ lim inf_n→∞1/n∑ⁿ_k=1 a_k ≤ lim sup_n→∞1/n∑ⁿ_k=1a_k ≤ lim sup_n→∞a_n
Sei lim inf_n→∞ a_n = a
Sei lim sup_n→∞ a_n = b
1/n ∑ⁿ_k=1 a_k < a und 1/n ∑ⁿ_k=1 a_k < b

Es folgt a ≤ a ≤ b ≤ b, also a ≤ b

Und wenn es eine monoton fallende Folge ist, halt a ≥ b.

Liege ich richtig?

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Hallo

den Schritt 1/n ∑nk=1 ak < a sollte man begründen.

inf ist nie größer als sup, die folge muss auch garnicht monoton sein sie ist nur beschränkt also gibt es ein inf und ein sup mehr weisst du nicht davon und a=  inf<=ak usw

lul

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den Schritt 1/n ∑nk=1 ak < a sollte man begründen.

inf ist nie größer als sup, die folge muss auch garnicht monoton sein sie ist nur beschränkt also gibt es ein inf und ein sup mehr weisst du nicht davon und a=  inf<=ak usw

gibt dem kleinsten Element von ak einen Namen ebenso dem größten,, dann benutze, dass der Mittelwert von n Zahlen größer ist als die kleinste, entsprechend mit der größten und du weisst ja u<ak<o wenn u und o die untere und obere Schranken sind.

Ich bin etwas verwirrt.
Sei lim inf_n→∞ a_n = a
Sei lim sup_n→∞ a_n = b
Warum genau ist jetzt a ≤ 1/n ∑ⁿ_k=1 a_k?
Soll der Mittelwert von n Zahlen größer als a sein?