Kovarianz richtig berechnen

Question

Aufgabe:

Es seien X1 und X2 Zufallsgrößen mit σ21=19, σ22=7 und Cov (X1,X2)=σ12=10.

Berechnen Sie Cov 12X1−X2,X1+16X2).

Problem/Ansatz:

Guten Tag, trotz mehreren Versuchen komme ich leider nicht auf das richtige Ergebnis. Ich habe die oben gegebenen Werte für X1 und X2 eingesetzt.

Danke für die Hilfe.

Answer 1

Aloha :)

Die Kovarianz ist eine Bilinearform, d.h. sie ist in beiden Komponenten linear...

$$\phantom=\operatorname{Cov}(12X_1-X_2|X_1+16X_2)$$$$=\operatorname{Cov}(12X_1|X_1+16X_2)+\operatorname{Cov}(-X_2|X_1+16X_2)$$$$=\operatorname{Cov}(12X_1|X_1)+\operatorname{Cov}(12X_1|16X_2)+\operatorname{Cov}(-X_2|X_1)+\operatorname{Cov}(-X_2|16X_2)$$$$=12\operatorname{Cov}(X_1|X_1)+12\cdot16\operatorname{Cov}(X_1|X_2)+(-1)\operatorname{Cov}(X_2|X_1)+(-1)\cdot16\operatorname{Cov}(X_2|X_2)$$$$=12\operatorname{Cov}(X_1|X_1)+191\operatorname{Cov}(X_1|X_2)-16\operatorname{Cov}(X_2|X_2)$$$$=12\cdot19+191\cdot10-16\cdot7$$$$=2026$$