Produktregel: Zweite Ableitung von f(x)=2x*e^{-x}

Question

gegeben: f(x)=2x*e^-x

habe die erste Ableitung gebildet und zusammengefasst: f`(x)= 2e^-X + (-2) e^-x

Wie fasse ich meine erste Ableitung nun weiter zusammen, sodass ich die zweite bilden kann?

Danke und liebe grüße

Answer 1

f(x) = 2·x·e^{-x}

f'(x) = 2·e^{-x} - 2·x·e^{-x} 

hier sollte e^{-x} ausgeklammert werden

f'(x) = e^{-x}·(2 - 2·x)

jetzt erneut ableiten und wieder zusammenfassen

f''(x) = e^{-x}·(2·x - 4) 

Answer 2

Hi,

Ich zeig dir das mal von anfang an und somit kannst Du dann auch deine Schritte kontrollieren, ok?

f(x)= 2x*e^-x

Produktregel: f'(x)= u'(x)*v(x)+v'(x)*u(x)

Wähle:

u(x)= 2x

u'(x)= 2

v(x)= e^-x

v'(x)= -e^-x

Einsetzen:

f'(x)= 2*e^-x+(-e^-x)*2x

= 2e^-x-e^-x*2x

Ausklammern:

f'(x)= e^-x(2-2x)

Nun kannst Du die 2. Ableitung davon bilden, ok?

Gruß

Comments

ja, habe alles verstanden. Danke dir!

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Keing Ding              .

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Aber nun soll ich die Funktion f nach EP untersuchen. 

habe nun e^-x(2-2x)=0 

Aber wie kann ich das ganze jetzt auflösen? mit ln glaube ich aber ich weiß nicht wie und wie ich die klammer wegbekomme....danke

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nein Du weißt doch, dass die E-Funktion nie Null wird!

Also bleibt dir nur noch das was in der Klammer steht übrig, und das bekommst Du sicherlich alleine hin, oder?

Zur Kontrolle:

x=1

Kommst Du nun alleine klar? mit der hinreichenden und notwendigen Bedinung?

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ja klar das verstehe ich mit den bedingungen, danke

aber fällt e^-x nun ganz weg und ich habe 2-2x=0 ?

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Gut

hier kannst Du ja Satz vom Nullprodukt anwenden. Entweder wird e^-x Null oder 2-2x wird Null, aber Du solltest wissen, dass die E-Funktion niemals Null wirdm also bleibt dir nur noch 2-2x=0 und das umgestellt nach x ist x=1

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und wieso kann e^-x = 0 nicht funktionieren? 

es geht ja auch 70e^-0,045t = 0

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Ich denke 70e^-0,045t = 0 ist eine ganz andere Aufgabe? Hier sollst Du bestimmt die Zeit (t=Time?) bestimmen??
Das kann man mittels ln einfach nach t umstellen.

Wieso die E-Funktion niemals Null wird? Ganz einfach egal welche Basis man hat, eine Exponentialfunktion kann NIE Null werdn, denn man kann mit KEINEM Exponent eine Zahl zu Null machen

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Ja danke , stimmt vollkommen anderer Zusammenhang.

habe nun notwendige Bedingung x=1 

und muss nun bei hinreichender Bedingung die 1 in die zweite Ableitung setzen und habe somit den y-Wert richtig? :)

DANKE DANKE DANKE

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quatsch in die erste muss ich 1 setzen, weiß dann den y-Wert.

setzte ich 1 in die zweite ein weiß ich ob Hoch oder Tiefpunkt...

richtig?

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Ich komme grad selber durcheinander^^

Also so sieht die Reihenfolge eigentlich aus:

f'(x₀)=0

f''(x₀)<0 Hochpunkt

f''(x₀)>0 Tiefpunkt

also Du setzt deine 1. Ableitung gleich Null und löst es nach x auf und dann setz Du deine 1 in die zweite Ableitung ein, also f''(1)=... und dann schaust Du ob es kleiner oder größer 0 ist 

Du hast einen Hochpunkt bei

H(1|2*e^-1)

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habe nun alles verstanden, danke dir!