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da ich, wie in einem anderen Thema, eine komplette Blockade habe freue ich mich über jegliche Lösungsansätze (Lösung natürlich gern gesehen,aber selbstverständlich kein Muss.)
Es seien a1 , a, a3, c ∈ ℝ, a1 ≠ 0, und
L={(x1 x2 x3) ∈ ℝ3 |  a1x1 + a2x2 + a3x3 = c}.
Das ist die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems bestehend aus nur einer Gleichung.
a) (Parameterdarstellung der Ebene L) Bestimmen Sie v, w1 , w2 ∈ ℝ3 so dass
L={v + λ1w1 + λ2w2 |  λ1 , λ2  ℝ}.
b) (Parallelität) Ferner seien b, b, b3, d ∈ ℝ und Μ ⊂ ℝ3 die Lösungsmenge der linearen Gleichung b1x+ b2x2 + b3x3 = d. Charakterisieren Sie den Fall, dass die Schnittmenge L∩M leer ist, durch Bedingungen für die gegebene Koeffizienten (zwei Gleichungen, eine Ungleichung).
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Es seien a1 , a, a3, c ∈ ℝ, a1 ≠ 0, und 
L={(x1 x2 x3) ∈ ℝ3 |  a1x1 + a2x2 + a3x3 = c}.
Das ist die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems bestehend aus nur einer Gleichung.
a) (Parameterdarstellung der Ebene L) Bestimmen Sie v, w1 , w2 ∈ ℝ3 so dass 
L={v + λ1w1 + λ2w2 |  λ1 , λ2  ℝ}.
b) (Parallelität) Ferner seien b, b, b3, d ∈ ℝ und Μ ⊂ ℝ3 die Lösungsmenge
der linearen Gleichung b1x+ b2x2 + b3x3 = d. Charakterisieren Sie den Fall, dass die Schnittmenge L∩M leer ist, durch Bedingungen für die gegebene Koeffizienten (zwei Gleichungen, eine Ungleichung).  |  λ1 , λ2  ℝ}.

zu a)

Einen Punkt aus L bekommst du, indem du für x1,x2,x3 Werte findest, bei denen die Gleichung
stimmt, also etwa   v= (     c/a1  ; 0   ; 0)  und weil a1 nicht Null ist, geht das.
Die w1,w2 kannst du so wählen, dass sie orthogonal zum Vektor mit den
Komponenten a1;a2;a3 sind, also z.B.   w1=(a2; -a1 ; 0) und (a3; 0 ; -a1)
wenn du jetzt den Term v + λ1w1 + λ2w     bildest und in die gegebene Gleichung einsetzt,
wirst du sehen, dass es stimmt.

zu b) Der Vektoren mit den Komponenten  ( a1;a2;a3)   (b, b, b3)  sind die Normalenvektoren
der beiden Ebenen. Damit die Ebenen parallel sind müssen diese Normalenvektoren linear
 abhängig sein,  d.h. es gibt ein x aus IR mit x*(b1;b2;b3) = (a1;a2;a3). Außerdem muss sichergestellt sein,
dass die Ebenen nicht gleich sind, das wären sie, wenn außerdem x*d = c wäre.
Also heißen die Bedingungen :   Es gibt ein x aus IR mit
                              x*b1=a1 und x*b2=a2 und x*b3=a3 und x*d ungleich c
Das sind jetzt zwar 3 Gleichungen und eine Ungleichung, aber ich glaube, es stimmt.
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