Es seien a1 , a2 , a3, c ∈ ℝ, a1 ≠ 0, und
L={(x1 x2 x3) ∈ ℝ3 | a1x1 + a2x2 + a3x3 = c}.
Das ist die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems bestehend aus nur einer Gleichung.
a) (Parameterdarstellung der Ebene L) Bestimmen Sie v, w1 , w2 ∈ ℝ3 so dass
L={v + λ1w1 + λ2w2 | λ1 , λ2 ∈ ℝ}.
b) (Parallelität) Ferner seien b1 , b2 , b3, d ∈ ℝ und Μ ⊂ ℝ3 die Lösungsmenge
der linearen Gleichung b1x1 + b2x2 + b3x3 = d. Charakterisieren Sie den Fall, dass die Schnittmenge L∩M leer ist, durch Bedingungen für die gegebene Koeffizienten (zwei Gleichungen, eine Ungleichung). | λ1 , λ2 ∈ ℝ}.
zu a)
Einen Punkt aus L bekommst du, indem du für x1,x2,x3 Werte findest, bei denen die Gleichung
stimmt, also etwa v= ( c/a1 ; 0 ; 0) und weil a1 nicht Null ist, geht das.
Die w1,w2 kannst du so wählen, dass sie orthogonal zum Vektor mit den
Komponenten a1;a2;a3 sind, also z.B. w1=(a2; -a1 ; 0) und (a3; 0 ; -a1)
wenn du jetzt den Term v + λ1w1 + λ2w2 bildest und in die gegebene Gleichung einsetzt,
wirst du sehen, dass es stimmt.
zu b) Der Vektoren mit den Komponenten ( a1;a2;a3) (b1 , b2 , b3) sind die Normalenvektoren
der beiden Ebenen. Damit die Ebenen parallel sind müssen diese Normalenvektoren linear
abhängig sein, d.h. es gibt ein x aus IR mit x*(b1;b2;b3) = (a1;a2;a3). Außerdem muss sichergestellt sein,
dass die Ebenen nicht gleich sind, das wären sie, wenn außerdem x*d = c wäre.
Also heißen die Bedingungen : Es gibt ein x aus IR mit
x*b1=a1 und x*b2=a2 und x*b3=a3 und x*d ungleich c
Das sind jetzt zwar 3 Gleichungen und eine Ungleichung, aber ich glaube, es stimmt.