Ungleichungen und Beträge: zu zeigen: x^2 ≤ y^2 <=> |x| ≤ |y|

Question

seien x,y ∈ ℝ

zu zeigen:     x^2  ≤  y^2 <=>  |x|  ≤  |y|

Answer 1

x²  ≤  y² <=>  |x|  ≤  |y|

x²  ≤  y² <=>  x² -  y²     ≤ 0   <=>  (x -  y)*(x+y)     ≤ 0  wenn ein Produkt mit zwei Faktoren <= 0 ist,

dann ist ein Faktor größer oder gleich Null und der andere kleiner oder gleich Null

also etweder

(x -  y)    ≤ 0           und     (x+y)     >=   0

x   ≤   y                     und     x   >=   -y

also jedenfalls  |x| ≤  | y  |    

oder

(x +  y)    ≤ 0           und     (x-y)     >=   0   

was auch zu   |x| ≤  | y  |     führt.

gilt umgekehrt   |x| ≤  | y  |    so kannst du diese Ungleichung einmal mit |x| und einmal mit |y| multiplizieren

  |x| * |x| ≤  | y  |   * |x|                   und     |x|*|y| ≤  | y  | *|y|

Dann hast du wegen der Transitivität von "kleiner ioder gleich"

|x| * |x|  ≤  | y  | *|y|     und  da  |x| * |x|  = x^2 (entsprechend für y) ist,

hast du die Behauptung

Answer 2

|x|  ≤  |y|

Vielleicht so : da  | x |  positiv ist und | y |  auch positiv ist, ist
das Quadrieren eine Äquivalenzumformung

Oder
Für x > 0 gilt
| x | = x  quadrieren x^2
Für x < 0 gilt
| -x | = ( -x ) * ( -1 ) quadrieren [ ( -x ) * ( -1 ) ]^2 = x^2