Extremwertaufgabe einfach berechnen (bitte Beschreibung lesen )

Question

bei einer Extremwertaufgabe, wo man z.B. in einem Dreieck den maximalen Flächeninhalt von einem Reckteck herausfinden soll, kann man doch einfach die Höhe des Dreiecks und die Breite des Dreiecks jeweils durch 2 teilen, und hat dann die Höhe und Breite des Rechtecks, oder?

Answer 1

zufälligerweise ist dieses in ein rechtwinkliges Dreieck eingebettete Rechteck jenes mit maximalem Flächeninhalt.

Es gibt weitere Rechtecke, diese haben aber alle einen kleineren Flächeninhalt als jenes spezielle Rechteck mit den halben Seitenlängen der Katheten des umfassenden rechtwinkligen Dreiecks.

Mister

Comments

Das ist weder Zufall noch auf rechtwinklige Dreiecke beschränkt

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Wie soll ich mir die Aufgabe mit einem nicht-rechtwinkligen Dreieck vorstellen?

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stimmen meine spontanen Überlegungen ?

Grundseite eines Dreiecks c, h ist die Höhe.
Alle Dreiecke mit diesen Gegebenheiten haben die
dieselbe Fläche.
Auch das Rechtwinklige.
Wenn die Behauptung bezüglich des einbeschriebenen Rechtecks
für das rechteckige Dreieck gilt muß es auch für alle anderen Dreiecke
gelten.
Oder ?

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Also kann man es sich bei allen Aufgaben so überlegen?

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Außerdem: Wenn man z.B. ein Quadrat mit der Seitelänge a = 6 hat, und daraus soll dann ein möglichst großes Dreieck entstehen, was aber nur auf jeweils 2 Seiten von a "langezogen" werden darf (Strahlensätze?!). Mir ist klar das es eig nur die Diagonale ist, mit der man dann das größte Dreieck erhält, aber wie berechnet man das bzw. was ist wenn es sich um kein Quadrat sonder ein Rechteck welches kein Quadrta ist handelt? Und wie beweist man das?

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Der Flächeninhalt des Dreiecks kann als Funktion von seinen Seitenlängen \( a \) und \( b \) dargestellt werden:

\( A(a, b) = \frac{1}{2} ab \) mit der Einschränkung, dass \( a \) und \( b \) nicht größer als die Seitenlänge \( a_q \) des Quadrats sein dürfen:

\( 0 \leq a \leq a_q \),

\( 0 \leq b \leq a_q \).

Man sieht, dass

\( 0 \leq A(a, b) \leq \frac{1}{2}a_q a_q \)

gilt und die rechte Gleichheit bei

\( (a, b) = (a_q, a_q) \)

angenommen wird, sodass das Maximierungsproblem gelöst ist.

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ich stelle mir ein beliebiges Dreieck mit Grundseite c und Höhe h vor.

Durch die eingezeichnete Höhe h wird die Grundseite in c1 und c2
aufgeteilt.

Ich erhalte zwei rechtwinklige Dreiecke mit c1/h und c2/h.

Das max Rechteck in den Dreiecken ist  (
c1)/2  * h/2 und (c2/2) * h/2 zusammen
(c1)/2  * h/2 +  (c2/2) * h/2  oder
( c1+ c2 ) / 2 * h/2

c / 2 * h  / 2

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@isa_Griffey
Falls möglich stelle doch einmal eine Skizze ein.
So recht werde ich aus deiner Beschreibung nicht schlau.
mfg Georg

Answer 2

das stimmt. mfg Georg