Fallbewegung eines Fußballs

Question

liebes Frageteam !

ich sitze grübelnd vor folgender Aufgabe und versuche es zu durchdenken  ... Die Angabe sieht folgendermaßen aus;

Wir betrachten die Fallbewegung eines Fussballes an [mit der Masse 1] unter Berücksichtigung des Luftwiderstandes. Vereinfachend kann man nach dem Kraftgesetz annehmen,
dass die ¨Anderung der Geschwindigkeit des Balles = der Summe aus Erdbeschleunigung (≈ 10) und Luftwiderstand ist.
Weiters nehme man nach dem Stokes’schen Widerstandsgesetz an, dass der Widerstand gleich -5 mal der
Geschwindigkeit ist. Die Anfangsgeschwindigkeit ist 0.

1) Formulieren sie ein Anfangswertproblem, dessen Lösung die Geschwindigkeit des Balles ist.
2) Lösen sie das Anfangswertproblem.
3) Zeichnen sie den Graphen der Lösung
4) Angenommen der Ball wird aus einer Höhe von 100m fallen gelassen. Wir wissen, dass die
Geschwindigkeit die Ableitung des zurückgelegten Weges nach der Zeit ist. Berechnen sie mit
Hilfe der Lösung die Höhe des Balles nach einer Sekunde.

Bin über jede Hilfestellung sehr dankbar ! lg !!

Comments

In ein Kommentar umgewandelt weil der Ansatz wohl verkehrt ist.

v'(t) = 10 - 5·v(t) und v(0) = 0

Da würde ich auf folgendes Gesetz kommen

v(t) = 2 - 2 e^{-5 t}

Kommst du dann alleine weiter ?

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v'(t) = 10 - 5·v(t)

stimmt schon nicht, weil dann a = v'' konstant wäre, sich aber hier wegen der nicht zu vernachlässigenden Luftreibung dauernd ändert.

Für die Höhe nach einer Sekunde ergibt sich   h  =  98,40m.

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Stimmt der Ansatz

v'(t) = 10·t - 5·v(t) ; v(0) = 0

?

Damit komme ich nicht auf 98.4 m also auch verkehrt ?

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v'(t) = 10·t - 5·v(t)  ?

Nein.
v' ist nämlich eine Beschleunigung, aber 10t wäre eine Geschwindigkeit.

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Dann interpretiere ich irgendwas falsch

Vereinfachend kann man nach dem Kraftgesetz annehmen, dass die ¨Anderung der Geschwindigkeit des Balles = der Summe aus Erdbeschleunigung (≈ 10) und Luftwiderstand ist. Weiters nehme man nach dem Stokes’schen Widerstandsgesetz an, dass der Widerstand gleich -5 mal der Geschwindigkeit ist. Die Anfangsgeschwindigkeit ist 0. 

Wo liegt mein Denkfehler bzw. wie sollte der Ansatz lauten?

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Der Ansatz lautet  F = m·a .

F ist die Summe aller angreifenden Kräfte, also  F= Gravitationskraft + Reibungskraft  =  m·g + β·v .

Aus  m·a  =  m·g + β·v  ergibt sich also die Differentialgleichung   a  =  v'  =  g + (β/m)·v  und nach Einsetzen der (z.T. verklausuliert) gegebenen Werte  g = 10 m/s²  und  β/m = -5 m/s²  schließlich  (einheitenfrei geschrieben)  v'  =  10 - 5v.

Weiter wird die zurückgelegte Strecke  s(t) = ₀∫^t v(τ) dτ  und die aktuelle Höhe  h(t) = 100 - s(t).

Answer 1

"v'(t) = 10 - 5·v(t) stimmt schon nicht, weil dann a = v'' konstant wäre, sich aber hier wegen der nicht zu vernachlässigenden Luftreibung dauernd ändert."

Wo ist jetzt genau der Unterschied zu dem was du Einheitenfrei geschrieben hast?

Comments

Es gibt überhaupt keinen. Nachdem ich mir die Tomaten von den Augen gewischt habe kann ich deine Dgl und ihre Lösung aus dem ersten Beitrag nur bestätigen. Entschuldigung für die Verwirrung

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Nachdem der anonyme Schreiber ja zumindest bei mir für Verwirrung gesorgt hat wiederhole ich nochmal meinen Ansatz als Lösung

v'(t) = 10 - 5·v(t) und v(0) = 0

v(t) = 2 - 2·e^{- 5·t}

s(t) = 2·e^{- 5·t}/5 + 2·t - 2/5

für t = 1

s(1) = 2·e^{- 5·1}/5 + 2·1 - 2/5 = 1.60

Damit ist der Ball 1.603 m gefallen und hat noch eine Höhe von 98.4 m.