Untersuchung von Logarithmusfunktionen: f(x) = x - ln(x), g(x) = x*ln(x) - x, h(x) = ln(x).

Question

Bitte brauche Hilfe zum Thema: 

Gegeben ist die Funktion f mit f(x)= x - ln (x).

a) Untersuchen Sie f. Gibt es Punkte mit der Steigung e ?

b) Vom Ursprung aus soll eine Tangente an einen weiteren Punkt P des Grapen von f gelegt werden.

   Ermitteln sie die Koordinaten von P.

c) Ist g mit g(x)= x* ln(x) -x eine Stammfunktion von h mit h(x)=ln(x) ?

Anmerkung zu a) Mit Untersuchen ist gemeint Nullstellen, Extrempunkte und den Wendepunkt  bestimmen von der Funktion f .

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Anmerkung zu a) Mit Untersuchen ist gemeint Nullstellen,Extrempunkte und den Wendepunkt  bestimmen von der Funktion f .

Answer 1

f(x)= x - ln(x)
f '(x)= 1 - 1/x
f ''(x)= 1/x^2

Y-Achsenabschnitt f(0)

f(0) = ∞

Extremstellen f '(x) = 0

1 - 1/x = 0
x - 1 = 0
x = 1

f''(1) = 1 --> Tiefpunkt

f(1) = 1

Tiefpunkt bei (1 | 1)

Nullstellen f(x) = 0

Keine Nullstellen da der Tiefpunkt oberhalb der x-Achse ist.

Wendestellen f ''(x) = 0

Keine Wendestellen

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Hier folgt eine Skizze um es zu veranschaulichen:

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b) Vom Ursprung aus soll eine Tangente an einen weiteren Punkt P des Grapen von f gelegt werden. Ermitteln sie die Koordinaten von P.

(f(x) - 0) / (x - 0) = f '(x)
f(x) / x = f '(x)
(x - ln(x)) / x = 1 - 1/x
x - ln(x) = x - 1
ln(x) = 1
x = e

f(e) = e - 1

P(e | e-1)

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c)

g(x)= x * ln(x) - x
g '(x) = ln(x)

g(x) ist daher eine Stammfunktion von h(x)

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müsste die Ableitung aber nicht g ´(x) = ln(x) - 1 heißen

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Nein, ich leite hier mal mit der Produktregel ab:

g(x)=x*ln(x)-x

g'(x)=x*1/x + 1*ln(x) - 1

g'(x)=1+ln(x)-1

g'(x)=ln(x)

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Gibt es Punkte mit der Steigung e ? Die Frage hast du übersehen. :)

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f '(x)= 1 - 1/x = e

1/x = 1 - e

x = 1 / (1 - e) = -0.5819767068

Das ist nicht im Definitionsbereich und damit gibt es solche Punkte nicht.