Funktionssynthese: ganzrationalen Funktion dritten Grades, die durch den Koordinatenursprung geht

Question

Hallo

Irgendwie habe ich das verstanden also Thema

Aber trotzdem weiter nicht kommen kann

Gesucht ist der Funktionsterm einer ganz rationalen Funktion dritten Grades, die durch den Koordinaten Ursprung geht und dort die Steigung m=2 hat. Im Punkt P(-2/-4) liegt ein extremum vor

Wäre sehr nett wenn jemand mir das erklären kann

Answer 1

Gesucht ist der Funktionsterm einer ganz rationalen
Funktion dritten Grades, die durch den Koordinaten
Ursprung geht und dort die Steigung m=2 hat.
Im Punkt P(-2/-4) liegt ein extremum vor

In der Kurznotation sind die Aussagen

f ( x ) = a * x^3 + b * x^2 + c * x + d
f ´ ( x ) = 3a * x^2 + 2b * x + c

f ( 0 ) = 0
f ´ ( 0 ) = 2
f ( -2 ) = 4
f ´ ( -2 ) = 0

jetzt die Werte in die Gleichungen einsetzen
und du erhältst 4 Gleichungen mit 4 Unbekannten.

mfg Georg

Comments

Zur Kontrolle

f(x) = 1,5·x^3 + 5·x^2 + 2·x

Bin jetzt allerdings fernsehen schauen.

Answer 2

Gesucht ist der Funktionsterm einer ganz rationalen Funktion dritten Grades, die durch den Koordinatenursprung geht und dort die Steigung \(m=2\) hat. Im Punkt P\((-2|-\red{4}) \)liegt ein Extremum vor.

P\((-2|-\red{4})\)  verschieben um  \(\red{4}\)↑ :  P'\((-2|0)\) doppelte Nullstelle:

\(f(x)=a(x+2)^2(x-N)\)

Koordinatenursprung K'\((0|4)\):

\(f(0)=a(0+2)^2(0-N)=4a(-N)=4\)     \(a=-\frac{1}{N}\)   

\(f(x)=-\frac{1}{N}[(x+2)^2(x-N)]\)

\(f'(x)=-\frac{1}{N}[(2x+4)(x-N)+(x+2)^2]\)

\(m=2\) :

\(f'(0)=-\frac{1}{N}[(4)(-N)+4]=2\)

\(N=2\) \(a=-\frac{1}{2}\) 

\(f(x)=-\frac{1}{2}(x+2)^2(x-2)\)

verschieben um \(\red{4}\)↓:

\(p(x)=-\frac{1}{2}(x+2)^2(x-2)-4\)