Natürlich muss man Übung 1 kennen.
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Der Gärtner aus Übung 1 strebt an, dass einem Behälter mit Samen niedriger Keimfähigkeit (40%) mit nur geringer Wahrscheinlichkeit α irrtümlich eine hohe Keimfähigkeit (70%) zugeordnet wird. Wie muss er seine Entscheidungsregel abändern, damit α ≤ 5% gilt?
n = 10 ; p = 0.4
μ = n·p = 10·0.4 = 4
σ = √(n·p·(1 - p)) = √(10·0.4·0.6) = 1.549 --> Eigentlich darf man nicht durch die Normalverteilung nähern.
Φ(z) = 1 - 0.05 --> z = 1.645
μ + z·σ = 4 + 1.645·1.549 = 6.5
P(X ≥ 6) = ∑(COMB(10, x)·0.4^x·0.6^{10 - x}, x, 6, 10) = 0.1662
P(X ≥ 7) = ∑(COMB(10, x)·0.4^x·0.6^{10 - x}, x, 7, 10) = 0.0548
P(X ≥ 8) = ∑(COMB(10, x)·0.4^x·0.6^{10 - x}, x, 7, 10) = 0.0123
Er darf erst ab 8 keimenden Samen eine hohe Keimfähigkeit annehmen. Bis 7 keimenden Samen nimmt er eine schlechte Keimfähigkeit an.
Welche Wahrscheinlichkeit ergibt sich nun für die irrtümliche Zuordnung einer niedrigeren Keimfähigkeit zu einem Behälter mit tatsächlich hoher Keimfähigkeit?
P(X ≤ 7) = ∑(COMB(10, x)·0.7^x·0.3^{10 - x}, x, 0, 7) = 0.6172
Ist das Testverfahren brauchbar?
Das Testverfahren ist unbrauchbar, weil so fälschlicherweise ca. 62% aller Behältern mit hoher Keimfähigkeit eine schlechte Keimfähigkeit zugeordnet wird. Um den β-Fehler zu senken könnte der Stichprobenumfang erhöht werden.
