Wahl der Stichprobengröße bei einem Alternativtest

Question

Ich habe bei einem Alternativtest zwei Wahrscheinlichkeiten p0 = 0,005 und p1 = 0,3.

Nun möchte ich den kleinsten Stichprobenumfang haben, so dass sowohl Alpha- als auch Beta-Fehler untre 5% liegen.

Hat da jemand eine Idee wie man das macht?

Nähern durch die Normalverteilung geht leider nicht, weil das n nicht groß genug wird.

Comments

Wie groß ist die Grundgesamtheit?

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Ich denke nicht das die Menge der Grundgesamtheit ausschlaggebend ist. Wenn z.B. Obst in zwei Klassen eingeteilt werden.

In Klasse 1 erfüllen 5% nicht die hohen Qualitätsanforderungen.
In Klasse 2 erfüllen 30% nicht die hohen Qualitätsanforderungen.

Nun ist es denke ich egal wie groß die Grundgesamtheit ist. Ich nehme jetzt eine Stichprobe und versuche nach dem Alternativtest festzulegen ob ich Obst der Klasse 1 oder Obst der Klasse 2 vorliegen habe.

Ich persönlich würde zunächst über die Normalverteilung nähern. Am besten sucht man einen Wert für n, dass die Grenzen der Intervalle um 1 auseinander liegen.

(0.3·n - 1.645·√(0.3·0.7·n)) - (0.05·n + 1.645·√(0.05·0.95·n)) = 1

Den Stichprobenumfang würde ich dann mutwillig aufrunden.

Wenn ich mit dem ermittelten Stichprobenumfang rechne, dann liegt mein Alpha- und Betafehler beide unter 5%.

Wo liegen bei dir genau die Probleme?

Ich persönlich weiß allerdings nicht ob die von mir gewählte Methode so gemacht wird. Ich persönlich würde es so machen. Es erscheint mir auch recht praktikabel zu sein. 

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In der Aufgabe ist nicht von 5 % die Rede, sondern von einem halben Prozent.

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Mir fällt gerade auf, dass ich in meiner Rechnung mit 5% statt 0.5% gerechnet habe. Bei 0.5% statt 5% sollte nach meiner Formel eine Stichprobe von 15 schon ausreichen.

Nachgerechnet habe ich das jetzt aber nicht. Das solltest du selber machen.

Answer 1

Machen wir mal ein Beispiel: Wenn die Grundgesamtheit 1000 ist und man eine Stichprobe von 100 zieht, dann schauen die beiden (hypergeometrischen) Verteilungen so aus:

 

Das 95-%-Konfidenzintervall für die Stichprobe aus der Grundgesamtheit mit 30 % Anteil geht von 22 bis 38. Der Fehler 1. Art (alpha) ist dort 5 % (2,3 % von 0 bis 21 und 2,7% von 39 bis 100). Der Fehler 2. Art (beta) ist Null, weil die Verteilung der Stichprobe aus der Grundgesamtheit mit 0,5 % Anteil (links im Bild) nicht in dieses Intervall hineinreicht.

Comments

Warum verwendest du ein zweiseitiges Konfidenzintervall. Ein Alternativtest bedeutet doch das nur eine der genannten Wahrscheinlichkeiten richtig sein kann.

Heißt auch wenn ich bei einer Stichprobe von 100 genau 100 mit diesem Merkmal habe trifft dann p = 0.3 zu.
Bei einem Alternativtest ist nur genau zwischen zwei alternativen zu wählen.
Außerdem beantwortest du nicht die Frage nach dem Stichprobenumfang.
Du nimmst einfach einen Stichprobenumfang von 100. 
Ich sehe aber auch gerade das ich oben in meiner Antwort versehentlich mit 5% statt 0.5% gerechnet habe. 
Dann langt ein noch viel kleinerer Stichprobenumfang aus um eine Aussage über die Stichprobe zu machen.

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Wenn man es einseitig macht, dann ist bei einer Grundgesamtheit von 1000 und einer Stichprobengröße von 32 das Konfidenzintervall linksseitig bis 6, schliesst also aus dass sie aus der 5-%-Grundgesamtheit gezogen wurde.

Bei einer Grundgesamtheit von 200 reicht schon eine Stichprobengröße von 13, um über 1 (0.5 % von 200) zu sein.

Alles berechnet nach hypergeometrischer Verteilung, denn von "Zurücklegen" steht nichts in der Aufgabenstellung.

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In der Aufgabe steht auch nichts von Grundgesamtheit. Man könnte also annehmen das jedes einzelne Teil mit einer wahrscheinlichkeit von 0.5% oder 30% ein bestimmtes Merkmal hat. Daher kann man eine binomialverteilung unterstellen.

Wenn bei einem Autohersteller ein Auto mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.5% einen Mangel an der Benzineinsprizung hat. Dann kann man laut Aufgabentext eine Binomialverteilung unterstellen. Keiner wird sich die Mühe gemacht haben alle Autos zu prüfen und dann festzustellen das die Autos der Grundgesamtheit tatsächlich zu 0.5% mit einem Mangel an der Bezineinspritzung behaftet sind.

Hypotesentests macht man ja eigentlich eben weil man nicht genau weiß wie die Grundgesamtheit aussieht.

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Bist wieder um eine Dezimalstelle verrutscht, diesmal in die andere Richtung.

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Richtig. Ich verbessere das und merke an, dass du offensichtlich keine anderen mathematisch relevanten Dinge anfügen kannst. Damit können wir denke ich die Diskussion beenden.

Answer 2

Ich würde den nötigen Stichprobenumfang wie folgt berechnen

(0.3·n - 1.645·√(0.3·0.7·n)) - (0.005·n + 1.645·√(0.005·0.995·n)) = 1

Auflösen nach n ergibt

n = 14.69228715

Ich würde also mit einer minimalen Stichprobe von 15 rechnen.

Im Intervall von [0; 1] würde ich die Hypothese p = 0.005 annehmen.

Im Intervall von [2; 15] würde ich die Hypothese p = 0.3 annehmen.

Die Fehler die Dabei auftreten liegen bei 0.002513772225 und 0.03526759978 also unter 5%. Ich denke das ist das was du haben wolltest.

Comments

Ich studiere immer noch am Umfang der Grundgesamtheit herum, warum der nicht relevant sein soll.

Nehmen wir zwei Grundgesamtheiten N=600, M ist entweder 0.5 % = 3 oder 30 % = 180. Und jetzt nimmt man eine Stichprobe von n=15.

Die Wahrscheinlichkeit immer noch 29%, dass die Stichprobe aus der GG mit M=180 gezogen worden ist und man von 0 bis 3 Treffer erzielt.

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Dann studier mal weiter.

Aber interpretier in Aufgaben nicht Dinge rein die nicht drin stehen.