Untersuchung der Reihe auf Konvergenz oder Divergenz

Question

Ich soll diese Reihe auf (absolute) Konvergenz bzw. Divergenz untersuchen:

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k} \cdot k !}{k^{k}} \)

Ich finde aber kein Verfahren, um weder das eine noch das andere festzustellen.

Comments

Was spricht gegen das Quotientenkriterium?

Answer 1

geht wirklich mit Qoutienten kriterium:

a_k+1 / a_k =   [ ( 2^{k+1}*(k+1)! ) / k^k    ]  /  [ 2^k * k! / k^k ]
                 gibt nen Doppelbruch, bei dem du viel kürzen kannst und dann

                  =  ( k / (k+1) )^k * 2

                 =   (   1   /   ( 1 + 1/k) )^k  *  2
                 =   ( 1^k   /   (1+1/k)^k  )  * 2
Der Nenner des vorderen Bruches geht gegen e, also
GW für k gegen unendlich ist   ( 1/e) * 2
Da e>2 ist dies eine Zahl < 1 also Reihe konvergent.

Comments

Hm, muss man in der ersten Zeile für k^k nicht (k+1)^k+1 einsetzen?