Hier wird die Herleitung der Hyperbel-Gleichung beschrieben:
\( \begin{array}{ll}\overrightarrow{F_{1} X}=\left(\begin{array}{c}x+e \\ y\end{array}\right) & \left|\overrightarrow{F_{1} X}\right|=\sqrt{(x+e)^{2}+y^{2}} \\ \overrightarrow{F_{2} X}=\left(\begin{array}{c}x-e \\ y\end{array}\right) & \mid \overrightarrow{F_{2} X \mid}=\sqrt{(x-e)^{2}+y^{2}}\end{array} \)Laut Definition der Hyperbel gilt: Die Differenz der Längen der Brennstrecken ist \( 2 \mathrm{a} \).\( \begin{aligned}\left|\overrightarrow{F_{1} X}\right|-\left|\overrightarrow{F_{2}} \vec{X}\right| &=2 a \\ \sqrt{(x+e)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x-e)^{2}+y^{2}} &=2 a \\ \sqrt{(x+e)^{2}+y^{2}} &=2 a+\sqrt{(x-e)^{2}+y^{2}} \\(x+e)^{2}+y^{2} &=4 a^{2}+4 a \sqrt{\left(x-2 e x+e^{2}+y^{2}\right.}+(x-e)^{2}+y^{2} \\ x^{2}-2 e x+e^{2}+y^{2} &=4 a^{2}-4 a \sqrt{\left(x+2 e x+e^{2}+y^{2}\right.}+x^{2}-2 e x+e^{2}+y^{2} \\-4 a^{2}+4 e x &=4 a \sqrt{x^{2}-2 e x+e^{2}+y^{2}} \\-a^{2}+e x &=a \sqrt{x^{2}-2 e x+e^{2}+y^{2}} \\ a^{4}-2 a^{2} e x+e^{2} x^{2} &=a^{2}\left(x^{2}-2 e x+e^{2}+y^{2}\right) \\ a^{4}-2 a^{2} e x+e^{2} x^{2} &=a^{2} x^{2}-2 a^{2} e x+a^{2} e^{2}+a^{2} y^{2} \\ e^{2} x^{2}-a^{2} x^{2}-a^{2} y^{2} &=a^{2} e^{2}-a^{4} \\\left(e^{2}-a^{2}\right) x^{2}-& a^{2} y^{2}=a^{2}\left(e^{2}-a^{2}\right) \end{aligned} \)Durch Einsetzen von \( e^{2}-a^{2}=b^{2} \) folgt:$$ a^{2} b^{2}=b^{2} x^{2}-a^{2} y^{2} $$\( hyp : b^{2} x^{2}-a^{2} y^{2}=a^{2} b^{2} \)oderhyp: \( \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \)
\( \begin{array}{ll}\overrightarrow{F_{1} X}=\left(\begin{array}{c}x+e \\ y\end{array}\right) & \left|\overrightarrow{F_{1} X}\right|=\sqrt{(x+e)^{2}+y^{2}} \\ \overrightarrow{F_{2} X}=\left(\begin{array}{c}x-e \\ y\end{array}\right) & \mid \overrightarrow{F_{2} X \mid}=\sqrt{(x-e)^{2}+y^{2}}\end{array} \)
Laut Definition der Hyperbel gilt: Die Differenz der Längen der Brennstrecken ist \( 2 \mathrm{a} \).
\( \begin{aligned}\left|\overrightarrow{F_{1} X}\right|-\left|\overrightarrow{F_{2}} \vec{X}\right| &=2 a \\ \sqrt{(x+e)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x-e)^{2}+y^{2}} &=2 a \\ \sqrt{(x+e)^{2}+y^{2}} &=2 a+\sqrt{(x-e)^{2}+y^{2}} \\(x+e)^{2}+y^{2} &=4 a^{2}+4 a \sqrt{\left(x-2 e x+e^{2}+y^{2}\right.}+(x-e)^{2}+y^{2} \\ x^{2}-2 e x+e^{2}+y^{2} &=4 a^{2}-4 a \sqrt{\left(x+2 e x+e^{2}+y^{2}\right.}+x^{2}-2 e x+e^{2}+y^{2} \\-4 a^{2}+4 e x &=4 a \sqrt{x^{2}-2 e x+e^{2}+y^{2}} \\-a^{2}+e x &=a \sqrt{x^{2}-2 e x+e^{2}+y^{2}} \\ a^{4}-2 a^{2} e x+e^{2} x^{2} &=a^{2}\left(x^{2}-2 e x+e^{2}+y^{2}\right) \\ a^{4}-2 a^{2} e x+e^{2} x^{2} &=a^{2} x^{2}-2 a^{2} e x+a^{2} e^{2}+a^{2} y^{2} \\ e^{2} x^{2}-a^{2} x^{2}-a^{2} y^{2} &=a^{2} e^{2}-a^{4} \\\left(e^{2}-a^{2}\right) x^{2}-& a^{2} y^{2}=a^{2}\left(e^{2}-a^{2}\right) \end{aligned} \)
Durch Einsetzen von \( e^{2}-a^{2}=b^{2} \) folgt:
$$ a^{2} b^{2}=b^{2} x^{2}-a^{2} y^{2} $$
\( hyp : b^{2} x^{2}-a^{2} y^{2}=a^{2} b^{2} \)
oder
hyp: \( \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \)
Meine Frage:
Wie kommt man in der 4. Zeile auf den Ausdruck: 4a√(x-2ex+e2+y2)
"Wie kommt man in der 4. Zeile auf den Ausdruck:
4a√(x-2ex+e2+y2) "
3. Zeile
√(A) = 2a + √B |^2
A = (2a + √B)^2 |binomische Formel
A = 4a^2 + 2*2a*√B + B | 2*2 = 4 → dein roter Summand oben.
Beachte:
25 = 16 + 9 aber
5 ≠ 4 + 3
verstehe.. muss die Rechenoperationen, gerade bei Wurzel und Quadrieren, immer auf die komplette Seite anwenden und nicht auf die einzelnen Terme. Danke nochmal hast mir echt geholfen
Bis Zeile 7 wird √B so weit wie möglich isoliert.
-P + Q = a√B | quadrieren und links Wieder binomische Formel beachten.
P^2 - 2PQ + Q^2 = a^2 * B
Klammer ausmultiplizieren. Sortieren.
e^2 - a^2 = b^2 muss von einer andern Seite stammen. Die weisse Zeile über den beiden markierten ist überflüssig.
ergibt für mich keinen Sinn.. kannst du eventuell näher erklären wie man auf den Ausdruck kommt ? denn dahinter steht ja bereits der richtige Ausdruck aus der 3. Zeile ohne Wurzel-Zeichen.
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