Hyperbelgleichung Herleitung: Zwei Wurzeln.

Question

Hier wird die Herleitung der Hyperbel-Gleichung beschrieben:

\( \begin{array}{ll}\overrightarrow{F_{1} X}=\left(\begin{array}{c}x+e \\ y\end{array}\right) & \left|\overrightarrow{F_{1} X}\right|=\sqrt{(x+e)^{2}+y^{2}} \\ \overrightarrow{F_{2} X}=\left(\begin{array}{c}x-e \\ y\end{array}\right) & \mid \overrightarrow{F_{2} X \mid}=\sqrt{(x-e)^{2}+y^{2}}\end{array} \)

Laut Definition der Hyperbel gilt: Die Differenz der Längen der Brennstrecken ist \( 2 \mathrm{a} \).

\( \begin{aligned}\left|\overrightarrow{F_{1} X}\right|-\left|\overrightarrow{F_{2}} \vec{X}\right| &=2 a \\ \sqrt{(x+e)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x-e)^{2}+y^{2}} &=2 a \\ \sqrt{(x+e)^{2}+y^{2}} &=2 a+\sqrt{(x-e)^{2}+y^{2}} \\(x+e)^{2}+y^{2} &=4 a^{2}+4 a \sqrt{\left(x-2 e x+e^{2}+y^{2}\right.}+(x-e)^{2}+y^{2} \\ x^{2}-2 e x+e^{2}+y^{2} &=4 a^{2}-4 a \sqrt{\left(x+2 e x+e^{2}+y^{2}\right.}+x^{2}-2 e x+e^{2}+y^{2} \\-4 a^{2}+4 e x &=4 a \sqrt{x^{2}-2 e x+e^{2}+y^{2}} \\-a^{2}+e x &=a \sqrt{x^{2}-2 e x+e^{2}+y^{2}} \\ a^{4}-2 a^{2} e x+e^{2} x^{2} &=a^{2}\left(x^{2}-2 e x+e^{2}+y^{2}\right) \\ a^{4}-2 a^{2} e x+e^{2} x^{2} &=a^{2} x^{2}-2 a^{2} e x+a^{2} e^{2}+a^{2} y^{2} \\ e^{2} x^{2}-a^{2} x^{2}-a^{2} y^{2} &=a^{2} e^{2}-a^{4} \\\left(e^{2}-a^{2}\right) x^{2}-& a^{2} y^{2}=a^{2}\left(e^{2}-a^{2}\right) \end{aligned} \)

Durch Einsetzen von \( e^{2}-a^{2}=b^{2} \) folgt:

$$ a^{2} b^{2}=b^{2} x^{2}-a^{2} y^{2} $$

\( hyp : b^{2} x^{2}-a^{2} y^{2}=a^{2} b^{2} \)

oder

hyp: \( \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \)

Meine Frage:

Wie kommt man in der 4. Zeile auf den Ausdruck: 4a√(x-2ex+e²+y²)

Answer 1

"Wie kommt man in der 4. Zeile auf den Ausdruck:

4a√(x-2ex+e²+y²) "

3. Zeile

√(A) = 2a + √B       |^2

A = (2a + √B)^2       |binomische Formel

A = 4a^2 + 2*2a*√B + B     | 2*2 = 4 → dein roter Summand oben.

Beachte:

25 = 16 + 9 aber 

5 ≠ 4 + 3

Comments

verstehe.. muss die Rechenoperationen, gerade bei Wurzel und Quadrieren, immer auf die komplette Seite anwenden und nicht auf die einzelnen Terme. Danke nochmal hast mir echt geholfen

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kannst du bitte auch im Schnelldurchlauf die folgenden Schritte der Herleitung kurz erklären ?

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Bis Zeile 7 wird √B so weit wie möglich isoliert.

-P + Q = a√B        | quadrieren und links Wieder binomische Formel beachten.

P^2 - 2PQ + Q^2 = a^2 * B

Klammer ausmultiplizieren. Sortieren.

e^2 - a^2 = b^2 muss von einer andern Seite stammen. Die weisse Zeile über den beiden markierten ist überflüssig.

Answer 2

Von der 3. zur 4.Zeile wurden beide Seiten quadriert.
Auf der linken Seite entfällt die Wurzel.
Auf der rechten Seite ergibt sich eine Binomische Formel
die ausmultpliziert wurde.

Comments

ergibt für mich keinen Sinn.. kannst du eventuell näher erklären wie man auf den Ausdruck kommt ? denn dahinter steht ja bereits der richtige Ausdruck aus der 3. Zeile ohne Wurzel-Zeichen.