Beweis Konvergenz einer Folge

Question

also zur Zeit machen wir Folgen...
und wir müssen beweisen, dass die Folge a_n = 50ⁿ / n! konvergiert.
Also wir haben das so in der Uni gemacht:
Für alle ε >0 existiert ein N aus ℕ, so dass |a_n-a|<ε für alle n≥N.
Meine Vermutung ist eben dass a_n gegen 0 (a) konvergiert.
also:
50ⁿ/n! < ε.

So ich weiß jetzt aber absolut nicht wie ich das auf n auflösen kann. Oder hat jemand vielleicht eine ganz andere Idee und könnte mir bitte helfen (:


Liebe Grüße und danke vorab :)

Answer 1

50ⁿ/n! < ε.

Das musst du etwas abschätzen.
es ist für n>50 jedenfalls

50ⁿ/n!=  (50^{50}/50! ) * (50/51)*(50/52) * ......  (50/n)

=   C *(50/51)*(50/52) * ......  (50/n)   mit C= (50^{50}/50! ))

zur Abkürzung

also bleibt C * (50/51)*(50/52) * ......  (50/n) < eps

Nun sind die Faktoren hinter dem C alle kleiner oder gleich 50/51

also das Ganze kleiner gleich C * (50/51)^{n-50}

wenn du n so wählen kannst, dass dieses < eps ist, hast du es:

C * (50/51)^{n-50}< eps)

ln(c) + (n-50) * ln(50/51) < ln(eps)

(n-50) * ln(50/51) < ln(eps) - ln(c)

n-50     >   ( ln(eps) - ln(c)) / ln(50/51)  (Zeichen umdrehen, da Divisor negativ ! )

n > 50 + ( ln(eps) - ln(c)) / ln(50/51)

Da das ganze nur für n>5o gilt, sagst du:

Wähle no größer als das max von 50 und 50 + ( ln(eps) - ln(c)) / ln(50/51)

Dann ist für n > n0 auch 50ⁿ/n! < ε.

Comments

Unglaublich.... Seit ca. 2 Wochen Mitglied hier im Forum und dann schon so viele Punkte gesammelt, das bringt wahrscheinlich den 1. Platz und eine "Belohnung".

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Gibt ein "Daumen nach oben" von mir