Pharmakokinetik Aufgabe. K(t)=(a⋅c) /(a−b)⋅(e^{−b⋅t}−e^{−a⋅t})

Question

In der Pharmakokinetik wird die Konzentration K eines Mediakments im Blut in Abhängigkeit von der Zeit nach der Einnahme des Medikaments durch die sogenannte Bateman-Funktion K mit 

K(t)=(a⋅c) /(a−b)⋅(e^{−b⋅t}−e^{−a⋅t}) beschrieben (t: Stunden nach Einnahme, K(t) in mg/l)

Für ein spezielles Medikament ist c=18,75, a=0,8 und b=0,2

a) Berechne wann die Konz. am höchsten ist.

b) das medikament wirkt wenn die konzentration über 7 mg/l liegt. berechnen sie den zeitraum in dem das medikament wirkt. 

Frage: muss ich um a) zu lösen die 1. Ableitung bilden und gleich 0 setzten? wenn ja ist das alles und ich schaffe das nicht nach 0 aufzulösen...

b) verstehe ich gar nicht.

Bitte um antwort

Comments

Produktregel brauchst du hier doch gar nicht. Versuchs mal mit der Kettenregel.

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K(t) = a·c/(a - b)·(e^{- b·t} - e^{- a·t})

mit a = 0.8 ; b = 0.2 und c = 18.75

K(t) = 0.8·18.75/(0.8 - 0.2)·(e^{- 0.2·t} - e^{- 0.8·t}) = 25·(e^{- 0.2·t} - e^{- 0.8·t}) = 25·e^{- 0.2·t} - 25·e^{- 0.8·t}

Das lässt sich prima mit Kettenregel ableiten

K'(t) = 20·e^{- 0.8·t} - 5·e^{- 0.2·t}

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ist die Ableitung von K(t)= 25e^-0,2t-25e^-0,8t

K`(t) = -0,5e^-1,2t + 20e^-1,8t

...weil, wen man den geposteten Link öffnet, dort einer antwortet seine Ableitung sei richtig, obwohl er gar nicht den exponenten um 1 verringert hat..

danke

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K(t)=(a⋅c) /(a−b)⋅(e^−b⋅t−e^−a⋅t) 

K ' (t) = (ac)/(a-b)*( -b*e^{-bt} + a*e^{-at})

Berechne die erste Ableitung und setze sie 0. Dann solltest du die gesuchte Zeit finden.

Anmerkung: Die Ableitung im Link ist so weit ok.

Setze sie nun gleich 0.

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nein deine Ableitung ist falsch, weil für die e-Funktion gilt:

\( f(x) = e^{g(x)} \)

\( f'(x) = g'(x) \cdot e^{g(x)} \)

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Vom Duplikat:

Titel: Anwendungsaufgaben E-Funktionen

Stichworte: e-funktion,logarithmus

In der Pharmakokinetik wird die Konzentration K eines Medikaments im Blut in Abhängigkeit von der Zeit nach Einnahme des Medikaments durch die sogenannte Bateman-Funktion K mit K(t)= (a•c/a-b)•(e^-bt -e^-at) beschrieben (t:stunden nach Einnahme, K(t) in mg/l).

Für ein spezielles Medikament ist c=18,75 mg/l; a=0,8; b= 0,2

a) Berechnen sie wann die Konzentration im Blut am höchsten ist.

geg: c=18,75; a=0,8; b= 0,2

In die Funktion einsetzen.

K(t)=(0,8•18,75/0,8-0,2)•(e^-0,2t •e^-0,8t)

K(t)=25(e^-0,2t •e^-0,8t)

Weiter komme ich nicht

b) Das Medikament wirkt, wenn die Konzentration über 7 mg/l liegt. Berechnen Sie den Zeitraum, in dem das Medikament wirkt.

Da habe ich 7,1 für K(t) eingesetzt, da es ja über 7mg/l liegt.

Also:

7,1=25(e^-0,8t •e^-0,2t)

Aber hier komme ich auch nicht weiter.

Könnt ihr mir helfen?

Answer 1

K(t)=(a⋅c) /(a−b)⋅(e^−b⋅t−e^−a⋅t)  

K ' (t) = (ac)/(a-b)*( -b*e^-bt + a*e^-at)

Berechne die erste Ableitung und setze sie 0. Dann solltest du die gesuchte Zeit finden.

Anmerkung: Die Ableitung im Link ist so weit ok.

Setze sie nun gleich 0.

5 * e^{-0.2t} = 20*e^{-0.8t}          |*e^{0.8t} ; :5

e^{-0.2 t} * e^{0.8t} = 4

e^{0.6t} = 4        |ln

0.6t = ln(4)

t = ln(4)/ 0.6 

Das sollte nun der Zeitpunkt mit der maximalen Konzentration sein.

Comments

aber wieso sind nun beide werte gleich gesetzt und nicht gleich 0 ? 

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Setze gleich 0. Nimm den Summanden mit dem MINUS auf die andere Seite.

Answer 2

   Najaa; Näherungsverfahren nicht unbedingt. Ich substituiere

      u  :=  exp  (  -  1/5  t  )       (  1a  )

    Du musst nur von der Kettenregel her beachten

    ( du/dt )  =  -  1/5  u     (  1b  )

   f  (  t  )  =  f  (  u  )  =    u  -  u  ^  4      (  2a  )

   f  '  (  t  )  =  -  1/5  (  u  -  4  u  ^ 4  )  =  0     (  2b  ) 

          u  ³  =  1/4           (  2c  )

    u  =  exp  (  -  1/5  t  )  =  1 / 2 ^ 2/3      (  3a  )

    t  (  max  )  =  10/3  ln  (  2  )

Answer 3

a)

K(t) = a·c/(a - b)·(e^{- b·t} - e^{- a·t})

K(t) = 0.8·18.75/(0.8 - 0.2)·(e^{- 0.2·t} - e^{- 0.8·t}) = 25·e^{- 0.2·t} - 25·e^{- 0.8·t}

Nun Ableitung Null setzen

K'(t) = 20·e^{- 0.8·t} - 5·e^{- 0.2·t} = 0 --> t = 2.310 h

b)

K(t) = 25·e^{- 0.2·t} - 25·e^{- 0.8·t} = 7 --> t = 6.246 oder t = 0.638

Das läßt sich vermutlich am einfachsten über ein Näherungsverfahren lösen.

Answer 4

a) Verwende Potenzgesetze um den Funktionsterm zuvereinfachen. Dann ganz normal Hochpunkt bestimmen.

b) Verwende Potenzgesetze um diemGleichung zu vereinfachen.