Definitionsbereich und Lösungsmenge folgender Gleichungen bestimmen. e^{2/3*x} = 13 - log_5(1/625)

Question

ich komme bei diesen beiden Aufgaben nicht klar. Kann mir bitte jemand helfen?

1. $$e^{\frac{2}{3}x}\; =13+\log _{_{_{_{5}}}}\left( \frac{1}{625} \right)\; $$

2.$$1+\log _{2}\left( \sum_{k=1}^{5}{\left( 2x \right)^{6}} \right)\; =\; 2\log \left( \left( 2x\sqrt{2} \right) \right)+\log _{2}5-4\log _{2}\left( 3 \right)$$

Comments

e^{2/3*x} = 13 -4
e^{2/3*x} = 9
2/3*x = ln(9) = 2.19722
x = 3.2958

Die Aufgabe ist  keine Funktion sondern eine Gleichung
.und hat keine Defintionsmenge

---

Wie kommst du den auf 13-4?

Also hier darf kein Taschenrechner benutzen, kannst du die lösungswege aufschreiben bitte?

---

log_5 (1/625) = log_5 (1/ 25^2) = log_5 (1/5^4) = log_5 (5^{-4}) = -4.

Zum Schluss halt mit ln(9) weiterrechnen und ln(9) so im Resultat stehen lassen.

---

ln(9) so im Resultat stehen lassen

bzw. zu ln(27) zusammenfassen.

Die "hübsche" Lösung  x = 1/6  bei 2.) ergibt sich nur, wenn alle Logarithmen solche zur Basis 2 sind. Tippfehler ?

---

vielen dank..

kannst du auch die 2. Aufgabe?

Answer 1

2. Gleichung fehlte ja noch:

Das mit der Summe ist einfach nur   5 mal der gleiche Summand, also 5*(2x)^6
Die erste 1 ist auch als log₂(2) zu schreiben
Dann hast du alles Logarithmen:
log₂(2) + log₂(5*(2x)^6) = 2log₂(2x*√(2)) + log₂(5) -4*log₂(3)
2 * log(z) gibt log(z^2) also
log₂(2) + log₂(5*(2x)^6) = log₂(8x^2) + log₂(5) -4*log₂(3)
Jetzt kennst du ja: Summe von logarithmen ist gleich logarithmus vom Produkt
und bei Differenz vom Quotienten, dann gibt das schon mal
log2( 2*5*(2x)^6 )   =   log2(8x^2 * 5 / ( 3^4 )  )
Jetzt kanst du den log weglassen
               10 * 2^6 * x^6 =  (40 * x^2 )  /  81      | *81
            810 * 64 * x^6   =  40 x^2   | :40
1296 x^6   = x^2    | -x^2
1296x^6  -   x^2 = 0    jetzt x^2 ausklammern
x^2 * (1296x^4 - 1) = 0
x^2 = 0     oder     1296x^4 - 1 = 0
x=0       oder         x^4 = 1/ 1296
x=0 oder  x = plus/minus  4. Wurzel aus 1296    also +/- (1/ 6)

Ach übrigens Definitionsbereich gibt es auch bei Gleichungen.
Hier z.B. muss wegen der logarithmen x>o sein, also
D = alle pos. reellen Zahlen.
Jetzt musst du noch schauen, ob die Zahlen wirklich in die ursprüngliche
 Gleichung eingesetzt werden können, denn z.B ein Logarithmus aus
einer negativen Zahl oder Null existiert ja nicht.

Und da geht es auch schon los: Der log von der summe wäre ja log(0),
also nicht möglich: 0 ist also keine Lösung.
Bei -1/6 gibt es Probleme auf der rechten Seite, also ist nur +1/6 eine Lösung.

Comments

wooow.. danke dir erstmals.

diesen schritt habe ich aber leider nicht verstanden :/

wie kommst du den auf 8?

2*2*wurzel2 ergibt ja nicht 8..

log₂(2) + log₂(5*(2x)⁶) = log₂(8x²) + log₂(5) -4*log₂(3) 

---

vorher stand da doch 2log₂(2x*√(2))

und eine 2 vor einem Log. gibt im Log HOCH 2

also log(    (2x*√(2) )^2 = 4*x^2*2 = 8x^2