Bestimme die Quersumme der Quadratzahl von z=10 hoch m minus 2014

Question

Die genaue Aufgabe lautet:

Bestimme die Quersumme der Quadratzahl von z = 10 hoch m minus 2014 mit m = natürliche Zahl und m>3.

Ist es richtig, dass die erste mögliche Quadratzahl 7986 x 7986 = 63776196 ist?

Wie finde ich eine Systematik zur Bestimmung der Quersummen?

Comments

Ist es richtig, dass die erste mögliche Quadratzahl 7986 x 7986 = 63776196 ist?

Ja. Quersumme ist 6+3+7+7+6+1+9+6 = ?

Answer 1

Hier noch mal der vermutlich gemeinte Term, dessen Quersumme bestimmt werden soll und ein möglicher Ansatz zur Vorgehensweise:
$$ z=\left(10^m-2014\right)^2 = \left(10^m-4028\right)\cdot10^m + 4056196 \quad \textrm{mit} \quad m>3. $$

Comments

An der Form (10^m - 4028) * 10^m + 4056196
z=(10m−2014)2=(10m−4028)⋅10m+4056196mitm>3.
sieht man ja ganz schön, dass der 1. Teil

(10^m - 4028) * 10^m sich für m>3 so entwickelt
Es gibt immer   999..9995972
und die Anzahl der führenden 9en ist m-4.
da kommen jetzt noch die

4056196
dazu.
Für m=5,6,7,8, kann man das ja ausrechnen,
danach gibt es dann immer sowas wie
1000...0004052168
und da die Nullen nix zur Quersumme beitragen
ist diese danach immer 27

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Das ist nicht richtig, denn es wird ja eine eher kleine Zahl von einer eher großen 10er Potenz subtrahiert. Dieser erste Summand muss also für hinreichend große m führende Neunen haben und für (m+1) dann auch eine Neun mehr als für m.

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Da habe ich wohl das   *10^m nicht bedacht.
Dadurch werden an die Zahl mit den führenden
9en ja noch einige Nullen angehängt.
Aber das wird doch für m>7 auch wieder
sehr übersichtlich.

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Ja, bereits für m≥7 überlagern sich in der Summe die Mantissen der beiden Summanden nicht mehr.

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Danke für die Hilfe.

(a-b)² = a² - 2ab + b².

(10 hoch m -2014)² = (10 hoch m)² - 10 hoch m x 4028 +4056196 =

= (10 hoch m -4028) x 10 hoch m + 4056196

Soweit richtig?

Für m=4 erhalte ich 63776196

Für m=8 erhalte ich 9999597204056196

Für m=9 erhalte ich 999995972004056196

Ich komme auf kein Resultat 10000.0004052168

Was mache ich falsch?

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ist alles richtig

(Ich hatte ja in meinem letzten Kommentar das Ergebnis der

ursprünglichen Antwort zurückgenommen.

m=7                               99959724056196

Für m=8 erhalte ich      9999597204056196

Für m=9 erhalte ich   999995972004056196

Für m=10                    99999959720004056196

und so wird für jede Erhöhung des m um 1 eine

zusätzliche 9 (vorne) und eine zusätzliche 0 (zwischen

der 2 und der 4) hinzukommen.

Also gilt ab m=7:    Quersumme = 9*(m-7)+Quersumme von 99959724056196

= 9*m +81

Die Fälle 4,5,6 muss man halt extra betrachten,

Answer 2

ist es wirklich   z  =  (  10^{m-2014}    )^2   =   10^{2m-4028}

Die Zahl ist doch eine Zehnerpotenz, also eine 1 mit
einer Reihe Nullen dahinter, bzw. für negative Exponenten etwas
mit 0,00000....1.
Jedenfalls gibt es immer nur eine Ziffer 1, sonst alles Nullen.
Also Quersumme 1.

Oder habe ich das falsch verstanden ?