Quadratzahl minus 255 ergibt neue Quadratzahl

Question

Ich suche alle Quadratzahlen für die gilt:


Wenn ich von der Quadratzahl die Zahl 255 subtrahiere erhalte ich als Ergebnis eine neue Quadratzahl.

Answer 1

x ² - 255 = y ²

<=> x ² - y ² = 255

<=> ( x - y ) * ( x + y ) = 255

Primfaktorzerlegung: 255 = 3 * 5 * 17

255 kann also auf folgende Weisen durch zwei Faktoren dargestellt werden:

1) 255 = 3 * 85

2) 255 = 5 * 51

3) 255 = 15 * 17

Fall 1) Dann muss gelten:

 x - y = 3 und x + y = 85

<=> x = 44 , y = 41

Probe: 44 ² - 255 = 1681 =  41 ² (korrekt)

Fall 2) Dann muss gelten:

 x - y = 5 und x + y = 51

<=> x = 28 , y = 23

Probe: 28 ² - 255 = 529 = 23 ² (korrekt)

Fall 3) Dann muss gelten:

 x - y = 15 und x + y = 17

<=> x = 16 , y = 1

Probe: 16 ² - 255 = 1 = 1 ² (korrekt)

 

EDIT:

Habe noch eine Möglichkeit zur Darstellung der 255 vergessen:

255 = 1 * 255

Dann muss gelten:

x - y = 1 und x + y = 255

<=> x = 128 , y = 127

Probe: 128 ² - 255 = 16129 = 127 ² (korrekt)

Answer 2

Man kann die Gleichung umstellen:

m² - 255 = n²

m² - n² = 255

(m-n)*(m+n) = 255

 

Jetzt muss man eine Faktorisierung von 255 aus 2 Faktoren finden.

Die Primfaktorenzerlegung von 255 lautet:

255 = 17*5*3

Also kann man 255 mit Hilfe von 2 Faktoren wie folgt schreiben:

255 = 255 * 1

255 = 85 * 3

255 = 17 * 15

255 = 51 * 5

 

Diese 4 Fälle muss man jetzt durchrechnen:

1)

m+n = 255

m-n = 1

m = 128  n = 127

2)

m+n = 85

m-n = 3

m = 44  n = 41

3)

m+n = 17

m-n = 15

m = 16  n = 1

4)

m+n = 51

m-n = 5

m = 28  n = 23

 

Für diese 4 Zahlenpaare ist die Gleichung erfüllt.

 

Die 4 Quadratzahlen für die die Bedingung der Aufgabenstellung erfüllt ist, lauten also:

128² = 16384

44² = 1936

28² = 784

16² = 256

Answer 3

Gesucht sind also ganze Zahlen x>y mit x²-255=y². Diese Gleichung ist äquivalent zur Gleichung (x+y)(x-y)=255. Da die Primfaktorzerlegung von 255 5*51 ist gibt es für die Faktoren folgende 2 Möglichkeiten: x+y=255 und x-y=1 sowie x+y=51 und x-y=5. (Die anderen beideen Fälle x+y=1,x-y=255; x+y=5,x-y=51 haben hier keine Lösungen). Damit ergeben sich die Paare 28,23 bzw. 128,127 als Lösungen für x,y

Comments

51 ist keine Primzahl. 3*17 = 51.

Siehe Antwort vno JotEs.

Answer 4

a^2 - 255 = b^2    |+255- b^2
a^2 - b^2 = 255

(a+b)(a-b) = 255 = 3*5*17

und jetzt so kombinieren, dass es aufgeht.

Alternative: Zweierpotenz in der Nähe erkennen.

255 = 256-1 = 2^8 - 1         |3. Binom

= (2^4+1)(2^4-1)
==> a = 2^4 = 16 und b = 1.

Alle Lösungen übersichtlich untereinander. Vgl. hier:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=255+%3D+%28a%2Bb%29%28a-b%29