Wie bestimme ich die Basis und die Dimension?

Question

Aufgabe 1:

Es sei \( \varphi: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) die durch die Matrix

\( A=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 3 & 5 & -2 \\ 3 & 8 & 13 & -3 \end{array}\right) \)

definierte lineare Abbildung. Bestimmen Sie je eine Basis und die Dimension von \( i m(\varphi) \) und \( \operatorname{ker}(\varphi) \)

Aufgabe 2:

Es sei \( V \) der Vektorraum der \( 2 \times 2 \)-Matrizen über \( \mathbb{R} \) und es sei \( M=\left(\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 0 & 3\end{array}\right) \). Ferner sei \( \varphi: V \rightarrow V \) die lineare Abbildung, dir durch \( \varphi(A)=A M-M A \) definiert wird. Ermitteln Sie eine Basis und die Dimension des Kerns von \( \varphi \).

Answer 1

Für ker(phi) machst du einfach den Ansatz  A*x = 0
dabei ist x ein Vektor mit den Komponenten x1 bis x4 und
0 der Nullvekot mit drei Null.komponenten

Dann bringst du das LGS auf Dreicksform, gibt
3   8    13    -3
0  1    2      -3
0   0    0     0

Dann löst du auf  x4, und x3 offenbar beliebig wählbar
also z.B. x4=t    und  x3=s

x2 +2s -3t = 0   folgt    x2 =  -2s   + 3t
3x1   +  8*(-2s   + 3t) = 0   gibt   x1 =  (16/3)s  -  8t

also x =   (   (16/3)s   -  8t ;    -2s   +  3t    ;     s    ;    t   )
           =    s* ( (16/3)  ;    -2     ;     1     ;   0 )    +  t (  -8   ;    -2      0     ;  1 )
Also dim=2      und Basis besteht aus den Vektoren
     ( (16/3)  ;    -2     ;     1     ;   0 )  und  (  -8   ;    -2      0     ;  1 )

Für im(phi) hast du als Erzeugende die Spalten der Matrix A,
diese sind aber lin. abh.
Du kannst jeweils die 2. und 3. Spalte als Lin.komb.
der ersten beiden darstellen (musst du vorrechnen)
aber die ersten beiden sind l.u.
also bilden sie eine Basis von Im(phi) und Dim=2.

zu 2) auch hier musst du schauen, für welche matrizen die Nullmatrix
herasukommt:

phi(A) = 0     bedeutet   A* 1 2        -      1  2   * A     =     0   0
                                              0  3                0  3                   0   0
Das gibt ein Gleichungssystem mit 4 Gleichungen und
den 4 Komponenten von A als Variable.

Comments

Wie komme ich bei der 2) auf die Basis bzw. Dimension?

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mit dem Ansatz              A* 1   2        -      1  2   * A     =     0   0
                                              0  3                0  3                   0   0

und A =  a  b

c   d   

hast du die Gleichungen  -2c=0   ^    2a -2c - 2d = 0   ^   -2c = 0    ^    2c = 0

also kurz    c=0    ^  2a-2d=0  bzw. a=d

D.h. alle Matrizen im Kern von phi haben für b irgendeinen beliebigen Wert,

für c eine Null und für a und d den gleichen Wert, der aber ansonsten auch beliebig ist.

sehen also so aus            s     t      also      s*   1  0      +    t*     0   1

0     s                         0  1                   0    0

Diese beiden Matrizen sind l.u., bilden eine Basis für den Kern, also dim = 2