Beweisen Sie mit Epsilon und Delta

Question

(a)Sei D⊆ℝ . Sei f : D→ℝ eine Funktion. Wir definieren die Funktion g: D→ℝ durch g(x):= |f(x)|

(i) Beweisen Sie mit ε und δ : ist f stetig, dann ist g auch stetig.

(ii) Gilt auch die Rückrichtung in (i)? Begründen Sie Ihre Antwort.

(b) Sei D⊆ℝ und seien p,q : D→ℝ stetige Funktionen. Wir definieren f: D→ℝ durch f(x):=min {p(x),q(x)}. Beweisen Sie, dass f stetig ist.

Answer 1

bei a) (i) musst du mit den Definitionen arbeiten und im grunde nur zeigen, dass

$$ \left | |f(x_0)| - |f(x)| \right | \leq |f(x_0) - f(x) | $$

bei (ii) Nein, Gegenbeispiel!

bei (b) es gibt eine Definition für min, die könntest du verwenden.

Gruß

Comments

Okay, werde es mal damit versuchen. Falls ich nicht klarkomme, melde ich mich noch einmal.

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(i) war kein Problem für mich, aber mit dem Gegenbeispiel tue ich mich schwer, kann hier jemand helfen?

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Probier's mal mit

f(x) = 1 für x >0,

         -1 für x ≤ 0.

Ein Beispiel in dieser Art habt ihr bestimmt schonmal durchgenommen.

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Ich hab es leider noch nicht verstanden und ich muss auch genau dieses Beispiel bis Dienstag abgeben. Über weitere Erklärungen oder ein aufzeigen des Lösungsweges wäre ich sehr dankbar!

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Zeige f(x) ist nicht stetig in x = 0....

Das g(x) = |(fx)| = 1 stetig ist dürfte jawohl auch kein Problem sein. Mehr als das kann ich dir nicht anbieten alles andere würde mir zu nahe an die Komplettlösung drankommen.

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Danke für die Antwort, aber helfen tut mir das nicht wirklich. Werde wohl noch ein bisschen knobeln müssen.