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Aufgabe:

Entwickeln Sie die angegebenen Funktionen in eine Taylorreihe um 0. Geben Sie mindestens fünf (nicht verschwindende) Glieder an. Die Summendarstellung ist nicht verlangt.

a) \( \frac{e^{2 x}-1}{x}=2+2 x+\frac{4}{3} x^{2}+\frac{2}{3} x^{3}+\frac{4}{15} x^{4}+\ldots=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n+1}}{(n+1) !} \cdot x^{n} \)

b) \( \frac{1}{4-x^{2}}=\left[\frac{1}{4}+\frac{1}{16} x^{2}+\frac{1}{64} x^{4}+\frac{1}{256} x^{6}+\frac{1}{1024} x^{8}+\ldots=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{4^{n+1}} x^{2 n}\right. \)

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Bilde dir mal die 5 Ableitungen, Du weißt denke ich wieso 5, oder?

f(x)= (e2x-1)/x

f'(x)= ((e2x(2x-1)+1)/x2

f''(x)= (2(e2x(2x2-2x+1)-1)/x3


Ab hier habe ich mich leider verrechnet. Ich denke die Ableitungen kannst Du aber bilden?


Nun schreibst Du die Formel der Taylorentwicklung auf, diese lautet:

f(x)≈f(x0)+f'(x0)/1+f''(x0)/2!(x-x0)2+f'''(x0)/3!(x-x0)3+f''''(x0)/4!(x-x0)4+f''''(x0)/5!(x-x0)5

So du weißt dein x0=0 ist und kannst es sofort einsetzen:

f(x)≈f(0)+f'(0)/1+f''(0)/2(x-0)2+f'''(0)/3!(x-0)3+f''''(0)/4!(x-0)4+f(5)(0)/5!(x-0)5

So nun kannst Du alles in die Ableitung einsetzen und ausrechnen mit dem TR. Das kannst du selber machen. Das ist mir zuuu anstrengend ^^


Und dann einfach nach der Formel arbeiten...

Am Ende solltest du auf:

T(x)≈2+2x+4x2/3+2x3/3+4x4/15+4x5/45

Am Ende solltest das ganze so aussehen:

f(x)= e2x-1/x

T(x)≈ 2+2x+4x2/3+2x3/3+4x4/15+4x5/45

Bild Mathematik


PS: Ich hatte sowas noch nie in der Schule. Noch nicht mal die Differentialrechnung. Deshalb Angaben ohne Gewähr!

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