Entwickeln Sie die angegebenen Funktionen in eine Taylorreihe um 0. Geben Sie mindestens fünf Glieder an.

Question

Aufgabe:

Entwickeln Sie die angegebenen Funktionen in eine Taylorreihe um 0. Geben Sie mindestens fünf (nicht verschwindende) Glieder an. Die Summendarstellung ist nicht verlangt.

a) \( \frac{e^{2 x}-1}{x}=2+2 x+\frac{4}{3} x^{2}+\frac{2}{3} x^{3}+\frac{4}{15} x^{4}+\ldots=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n+1}}{(n+1) !} \cdot x^{n} \)

b) \( \frac{1}{4-x^{2}}=\left[\frac{1}{4}+\frac{1}{16} x^{2}+\frac{1}{64} x^{4}+\frac{1}{256} x^{6}+\frac{1}{1024} x^{8}+\ldots=\sum \limits_{n=0}^{\infty} \frac{1}{4^{n+1}} x^{2 n}\right. \)

Answer 1

Bilde dir mal die 5 Ableitungen, Du weißt denke ich wieso 5, oder?

f(x)= (e^2x-1)/x

f'(x)= ((e^2x(2x-1)+1)/x²

f''(x)= (2(e^2x(2x²-2x+1)-1)/x³

Ab hier habe ich mich leider verrechnet. Ich denke die Ableitungen kannst Du aber bilden?

Nun schreibst Du die Formel der Taylorentwicklung auf, diese lautet:

f(x)≈f(x₀)+f'(x₀)/1+f''(x₀)/2!(x-x₀)²+f'''(x₀)/3!(x-x₀)³+f''''(x₀)/4!(x-x₀)⁴+f''''(x₀)/5!(x-x₀)⁵

So du weißt dein x₀=0 ist und kannst es sofort einsetzen:

f(x)≈f(0)+f'(0)/1+f''(0)/2(x-0)²+f'''(0)/3!(x-0)³+f''''(0)/4!(x-0)⁴+f⁽⁵⁾(0)/5!(x-0)⁵

So nun kannst Du alles in die Ableitung einsetzen und ausrechnen mit dem TR. Das kannst du selber machen. Das ist mir zuuu anstrengend ^^

Und dann einfach nach der Formel arbeiten...

Am Ende solltest du auf:

T(x)≈2+2x+4x²/3+2x³/3+4x⁴/15+4x⁵/45

Am Ende solltest das ganze so aussehen:

f(x)= e^2x-1/x

T(x)≈ 2+2x+4x²/3+2x³/3+4x⁴/15+4x⁵/45

PS: Ich hatte sowas noch nie in der Schule. Noch nicht mal die Differentialrechnung. Deshalb Angaben ohne Gewähr!