Taylorpolynome berechnen von Funktionen: f(x) = ⁴√x.

Question

a) Berechne das Taylorpolynom von f(x) der Ordnung 2 mit dem Restglied um x=1, wobei

$$ f(x)\quad =\sqrt [ 4 ]{ x } $$

b) Berechne das Taylorpolynom von f(x) der Ordnung 3 mit dem Restglied um x=2, wobei

$$ f(x)\quad =\log { (x) } $$

Answer 1

die Ableitung einer Funktion

$$ f(x) = x^a , \quad a \in \mathbb{R} \setminus \{0\} $$

ist

$$ f'(x) = a \cdot x^{a-1} $$

Schau nochmal nach was Brüche und negative Exponente bedeuten. Für die Aufgabe musst du ja nur die Taylorformel anwenden.

Gruß

Comments

ich habe das a) versucht und bin auf f₂(1) = 1 + 2 + 4 gekommen.

ist das nun so vollständig, oder muss ich noch etwas machen?

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Das ist sicherlich falsch, da nach einem ein Polynom gefragt wurde und nicht nach einem Wert... wo sind denn deine Glieder (x-1)^k ?

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In meinem Mathebuch stand Folgende Formel:

f_n(x) = f(0) + (f'(0)/1!)*x^1 +(f''(0)/2!)*x^2+...+(f⁽ⁿ⁾(0)/n!)*x^n + R_n(x)

und das x ist ja 1 bei a), somit sollte man das doch weglassen können, da der Bruch mit 1 multipliziert sich nicht verändert?

Dann habe ich die Ableitungen berechnet:

$$ f'(x)=\frac { 1 }{ (1/4)\cdot { x }^{ \frac { 3 }{ 4 }  } } ,\quad f''(x)=\frac { 1 }{ -(3/16)\cdot { x }^{ \frac { 7 }{ 4 }  } } ,\quad f'''(x)=\frac { 1 }{ (21/64)\cdot { x }^{ \frac { 11 }{ 4 }  } } $$

Und für x 1 eingesetzt.

Für den Rest ist folgende Formel gestanden

R_n(x)= $$  \frac { { f }^{ (n+1) }(x) }{ (n+1)! } { x }^{ (n+1) } $$ und hier habe ich für n 2 und für x 1 eingesetzt, was 7/128 ergeben würde.

was habe ich falsche gemacht?

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Bist du sicher, dass die Formel in deinem Mathebuch nicht um den Entwicklungspunkt a = 0? So wie ich die Aufgabenstellung verstanden habe sollst du das Polynom um den Entwicklungspunkt a = 1 entwickeln (ich glaube die Formulierung mit "..um x = 1..." ist an dieser Stelle etwas verwirrend.

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Das könnte guet sein, was muss ich dann ändern um es um x=1 zu machen?

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Sagen wir lieber a = 1 für den Entwicklungspunkt, dann ist das Taylorpolynom definiert durch

$$ Tf(x,a) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k $$

Wenn du nur bis zur Ordnung 2 rechnen sollst, und a= 1, dann:

$$ Tf_2(x,1) = \sum_{k=0}^2 \frac{f^{(k)}(1)}{k!}(x-1)^k +R_2(x,1)$$

dein Restglied schätzt du mit deiner Formel ab durch

$$ R_2(x,1) = \frac{f^{(3)}(c)}{3!}(x-1)^3 $$,

wobei \( c \in (x,1) \)

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Ok, diesmal kriege ich

1+(4x-4)+(2x^2-4x+2) + R₂(x,1)

Stimmt nun das Polynom?

und falls ja, wie rechne ich nun den Rest aus? Dieses c∈(x,1) verwirrt mich etwas...c∈(x,1)