injektive Abbildung einer unendlichen Menge

Question

Zeigen Sie, dass eine Menge M genau dann unendlich ist, wenn es eine Injektive Abbildung f: M→M gibt, die nicht surjektiv ist.

Hinweis: Wenn M unendlich ist, dann gilt:  Mächtigkeit von N ≤ als Mächtigkeit von M.

Answer 1

die Hinrichtung: Seie \( M \) unendlich. Sei \( (x_i)_{i \in \mathbb{N}} \) eine Folge paarweise verschiedener Elemente in \( M \). Definiere eine Abbildung \( f \) gemäß

\( f(x) = \begin{cases} x_{i+1} \text{ falls } x = x_i \text{ für ein } i \in \mathbb{N} \\ x \text{ sonst} \end{cases} \).

Es ist \( x_1 \not\in im(f) \), aber \( f \) ist injektiv.

Die Rückrichtung: Sei \( f \) eine nicht-surjektive, injektive Abbildung. Wäre \( M \) endlich, so wäre \( f \) nicht injektiv (*), ein Widerspruch. Also ist \( M \) unendlich.

Mister

(*) \( f \) wäre nicht injektiv, weil es nicht-surjektiv ist, denn es gälte (würde gelten) \( |im(f)| < |M| \).