Nicht endliche Menge N bestimmen, sodass Abbildung surjektiv ist

Question

Aufgabe:

Seien M, N Mengen und sei h: M → N, x ↦ x^3 - x eine Funktion.

a) Zeigen Sie, dass h für M = N = ℤ weder injektiv noch surjektiv ist.

b) Finden Sie eine nicht endliche Menge M, sodass h für N = ℤ injektiv ist.

c) Finden Sie eine nicht endlich Menge N, sodass h für M = ℤ surjektiv ist.

Problem/Ansatz:

Bei a) hab ich beides durch ein Gegenbeispiel widerlegt.

b) M = ℤ \{-1}

c) bereitet mir allerdings Probleme

Answer 1

Es sei g: ℤ → {y∈ℤ | ∃x∈ℤ : x³ - x  = y}, x ↦ x³ - x. Dann ist g surjektiv. Das ist aber vielleicht zu trivial.

Answer 2

Hallo ich wollte dich noch auf einen (so glaube ich) Fehler aufmerksam machen.

Sollte M= ℤ \{-1} sein, bekommst du ein Problem mit der Null. Es heißt ja das jedes "y" entweder nur von einem oder von keinem X aus M getroffen werden darf. In den ganzen Zahlen ohne die (-1) sind jedoch 0 und 1 enthalten.

f(0) = f(1) = 0

0³ - 0 = 0   und 1³ - 1 = 0

Daraus folgt das 1 und 0 der 0 als y zugeordnet sind. Das darf aber nicht, wenn es injektiv sein soll.

Nehme lieber die natürlichen Zahlen ohne die 0.

Sollte klappen wenn ich mich nicht versehen habe.