Eine 400-m-Laufbahn in einem Stadion besteht aus zwei parallelen Strecken mit 2 angesetzten Halbkreisen.

Question

Frage: Für welchen Radius r der Halbkreise wird die rechteckige Spielfläche maximal?

Vergleichen Sie das Ergebnis mit den realen Maßen eines Spielfeldes.

Answer 1

Hi,

Der Umfang ergibt sich zu 400m = 2πr+2x

Also zweimal den Halbkreisumfang (also ein kompletter Kreisumfang) und die beiden Seiten x.

Das nun noch als r(x) ausgedrückt:

2πr=400-2x

r(x)=(200-x)/π (Nebenbedingung)

Die rechteckige Fläche ergibt sich zu

Dann gilt A(x)=x*2r=x*2(200-x)/π  (Hauptbedingung mit bereits eingesetzte Nebenbedingung)

Um das Maximum zu bestimmen, bestimme A' = 0

A(x) = 400x/π-2x²/π

A'(x) = 400/π-4x/π = 0   |*π

4x = 400 |:4

x = 100

x=100 m ist also in der Tat die beste Wahl um das Feld zu maximieren.

Und r = (200-100)/π = 31,83 m

Grüße