Grenzwert einer Wurzelfolge

Question

sitze an einer Hausaufgabe für Analysis I und muss den Grenzwert der Folge (n gegen plus unendlich)

√(n² +n) - n   (die klammer ist unter der wurzel, das -n nicht mehr)

ausrechnen. Bisher habe ich versucht daraus einen Bruch zu machen, also mit dem gleichen Term erweitert und ausmultipliziert, dann komme ich nach ausklammern und kürzen von n² auf

(1+(1/n)-2√(1+(1/n))  /  (√(1/n² + 1/n³ ) - 1/n)

dann würde zähler gegen -1 und nenner gegen  - 0 gehen also insgesamt gegen unendlich. Allerdings zeigt die Probeeinsetzung dass der Grenzwert 0,5 sein muss.. 

hab mir überlegt dass es mit l'hôpital wahrscheinlich lösbar wäre, jedoch haben wir den in der vorlesung noch nicht besprochen, d.h. es gäbe 0 punkte auf die lösung. Muss also mit äquivalenzumformungen zu machen sein.

Hoffe mir kann jemand helfen!

LG

Answer 1

erweitern ist richtig, allerdings mit dem "Gegenpartner" um die dritte binomische Formel zu vollenden ;).

(√(n² +n) - n) * (√(n² +n) + n ) / (√(n² +n) + n )

= (n² +n - n^2) / (√(n² +n) + n ) = n/(√(n² +n) + n )

Im Limes kann der Nenner nun zu √(n²) + n  = n+n = 2n vereinfacht werden. Das ergibt dann insgesamt: 1/2.

Grüße

Comments

genial!

das muss man erst mal sehen mit dem binom :p

und dass man dass n in der wurzel im limes quasi vernachlässigen kann ist auch nicht gerade intuitiv, macht aber sinn.

VIELEN DANK

auch für die schnelle antwort ;)

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Die Anwendung der dritten binomischen Formel ist bei solchen Aufgaben üblich. Diesen "Trick" unbedingt verinnerlichen! :).

Gerne