Grenzwert geucht, ich komme auf undlich, ist das richtig?

Question

Aufgabe:

was ist Grenzwert \( \lim\limits_{x\to\infty} \)  (3^x - 2^x) ^1/x ?

ich komme auf undlich, ist das richtig ?

Danke im Voraus

Answer 1

$$\left(3^x-2^x\right)^{\frac 1x} = 3\left(1- \left(\frac 23\right)^x\right)^{\frac 1x}\stackrel{x\to\infty}{\longrightarrow}3(1-0)^0 = 3$$

Comments

@ trancelocation:

Ginge das auch mit L'Hospital, wenn man verwendet

e^(1/x*ln(3^x-2^x)  ?

Wie sähe der Weg aus?

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Wenn du logarithmierst und L'Hospitalisierst, erhältst du

$$\frac {\ln (3^x-2^x) }x \stackrel{x\to \infty}{\sim}\frac{\ln 3 \cdot 3^x - \ln 2 \cdot 2^x}{3^x-2^x}\stackrel{x\to \infty}{ \longrightarrow}\ln 3$$

Das wäre aber mit der Kirche ums Dorf, denn

$$\frac {\ln (3^x-2^x) }x= \frac { x\ln 3 + \ln \left(1-\left(\frac 23\right)^x\right)  }x = \ln 3 + \frac {  \ln \left(1-\left(\frac 23\right)^x\right)  }x $$

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Danke.

Wie kommst du auf ln3 in der 1. Zeile?

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Siehe hier :  https://www.ableitungsrechner.net/

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Es geht um den ln3 nach dem Pfeil am Ende der 1.Zeile.

Die Ableitung kriege sogar ich ohne Hilfe hin.

Den Rechner kenne ich übrigens auch und habe ihn selber schon oft

verlinkt, wie Sie wissen könnten als mein big brother.

Mit etwas Nachdenken hätten Sie mein eigentliches Problem sicher erkannt.

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Die Ableitung kriege sogar ich ohne Hilfe hin.

Sieht nicht so aus

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Immer locker bleiben.

@ggT Ableitung der Exponentialfunktion zur Basis 3 anschauen.

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@ggT Ableitung der Exponentialfunktion zur Basis 3 anschauen.

Das ist nicht das Problem.

Wie kommst du auf ln3 nach dem Kürzen?

Die Ableitung kriege sogar ich ohne Hilfe hin.

Sieht nicht so aus

Woraus schließen Sie das? Ich habe nichts abgeleitet.

Habe Sie heute Logik-Probleme?

Das ist schon der 2. Schuss voll daneben heute.

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@ggT
Ich habe nicht gekürzt. Ich habe den Grenzwert für \(x\to\infty\) gebildet.
Klammere doch mal in Zähler und Nenner \(3^x\) aus.
Diesen kleinen Zwischenschritt hab ich weggelassen.

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Habe das  nach dem Pfeil am Ende der 1.Zeile. leider überlesen.

Also Antwort : Für die Grenzwertberechnung wird 2/3 < 1 benutzt

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Diesen kleinen Zwischenschritt hab ich weggelassen.

Der wäre hier sinnvoll gewesen. Damit haben auch Schüler oft Probleme.

Nun ist alles klar. Danke.

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Ich dachte, dass man für jemanden mit über 8k Punkten hier so einen Schritt nicht mit hinschreiben muss. :-)

Dieser Schritt kommt übrigens in meiner Antwort für den Frager gar nicht vor.

Answer 2

Du kannst 2^x vernachlässigen für x -> oo, 3^x wächst schneller als 2^x

-> lim (3^x)^(1/x) = 3^1 = 3