Aufgabe:
was ist Grenzwert limx→∞ \lim\limits_{x\to\infty} x→∞lim (3^x - 2^x) ^1/x ?
ich komme auf undlich, ist das richtig ?
Danke im Voraus
(3x−2x)1x=3(1−(23)x)1x⟶x→∞3(1−0)0=3\left(3^x-2^x\right)^{\frac 1x} = 3\left(1- \left(\frac 23\right)^x\right)^{\frac 1x}\stackrel{x\to\infty}{\longrightarrow}3(1-0)^0 = 3(3x−2x)x1=3(1−(32)x)x1⟶x→∞3(1−0)0=3
@ trancelocation:
Ginge das auch mit L'Hospital, wenn man verwendet
e^(1/x*ln(3x-2x) ?
Wie sähe der Weg aus?
Wenn du logarithmierst und L'Hospitalisierst, erhältst du
ln(3x−2x)x∼x→∞ln3⋅3x−ln2⋅2x3x−2x⟶x→∞ln3\frac {\ln (3^x-2^x) }x \stackrel{x\to \infty}{\sim}\frac{\ln 3 \cdot 3^x - \ln 2 \cdot 2^x}{3^x-2^x}\stackrel{x\to \infty}{ \longrightarrow}\ln 3xln(3x−2x)∼x→∞3x−2xln3⋅3x−ln2⋅2x⟶x→∞ln3
Das wäre aber mit der Kirche ums Dorf, denn
ln(3x−2x)x=xln3+ln(1−(23)x)x=ln3+ln(1−(23)x)x\frac {\ln (3^x-2^x) }x= \frac { x\ln 3 + \ln \left(1-\left(\frac 23\right)^x\right) }x = \ln 3 + \frac { \ln \left(1-\left(\frac 23\right)^x\right) }x xln(3x−2x)=xxln3+ln(1−(32)x)=ln3+xln(1−(32)x)
Danke.
Wie kommst du auf ln3 in der 1. Zeile?
Siehe hier : https://www.ableitungsrechner.net/
Es geht um den ln3 nach dem Pfeil am Ende der 1.Zeile.
Die Ableitung kriege sogar ich ohne Hilfe hin.
Den Rechner kenne ich übrigens auch und habe ihn selber schon oft
verlinkt, wie Sie wissen könnten als mein big brother.
Mit etwas Nachdenken hätten Sie mein eigentliches Problem sicher erkannt.
Sieht nicht so aus
Immer locker bleiben.
@ggT Ableitung der Exponentialfunktion zur Basis 3 anschauen.
Das ist nicht das Problem.
Wie kommst du auf ln3 nach dem Kürzen?
Die Ableitung kriege sogar ich ohne Hilfe hin.Sieht nicht so aus
Woraus schließen Sie das? Ich habe nichts abgeleitet.
Habe Sie heute Logik-Probleme?
Das ist schon der 2. Schuss voll daneben heute.
@ggTIch habe nicht gekürzt. Ich habe den Grenzwert für x→∞x\to\inftyx→∞ gebildet.Klammere doch mal in Zähler und Nenner 3x3^x3x aus.Diesen kleinen Zwischenschritt hab ich weggelassen.
Habe das nach dem Pfeil am Ende der 1.Zeile. leider überlesen.
Also Antwort : Für die Grenzwertberechnung wird 2/3 < 1 benutzt
Diesen kleinen Zwischenschritt hab ich weggelassen.
Der wäre hier sinnvoll gewesen. Damit haben auch Schüler oft Probleme.
Nun ist alles klar. Danke.
Ich dachte, dass man für jemanden mit über 8k Punkten hier so einen Schritt nicht mit hinschreiben muss. :-) Dieser Schritt kommt übrigens in meiner Antwort für den Frager gar nicht vor.
Du kannst 2x vernachlässigen für x -> oo, 3x wächst schneller als 2x
-> lim (3x)^(1/x) = 31 = 3
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