Grenzwert einer n-ter Wurzelfolge

Question

Aufgabe: Grenzwert einer n-ter Wurzelfunktion

Text erkannt:

Es sei die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) gegeben durch
$$ a_{n}=\sqrt[n]{n^{6}\left(16^{n}+8^{n}\right)} $$

Problem/Ansatz

Hätte jemand eine Lösung zu dieser Aufgabe?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge...

$$a_n=\sqrt[n]{n^6(16^n+8^n)}=\sqrt[n]{n^6}\cdot\sqrt[n]{16^n+8^n}=\left(\sqrt[n]{n}\right)^6\cdot\sqrt[n]{16^n\left(1+\frac{8^n}{16^n}\right)}$$$$a_n=\left(\sqrt[n]{n}\right)^6\cdot\sqrt[n]{16^n}\cdot\sqrt[n]{1+\left(\frac{1}{2}\right)^n}=16\left(\sqrt[n]{n}\right)^6\cdot\sqrt[n]{1+\left(\frac{1}{2}\right)^n}$$Für \(n\to\infty\) konvergiert \(\sqrt[n]{n}\) gegen \(1\) und \(\left(\frac{1}{2}\right)^n\) gegen \(0\). Damit ist der Grenzwert:$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=16$$

Comments

Vielen Dank für Ihre Hilfe. Ich bin echt dankbar!

Answer 2

Wolfram Alpha sagt 16.