Grenzwert berechnen: Term mit n-ter Wurzel

Question

Berechnen Sie den Grenzwert ohne Verwendung des Satzes von L'Hospital: $$\lim_{n \to \infty} n \left(x^{\frac{1}{n}} -1 \right) = \, ?$$

Weiß jemand, wie das geht?

Answer 1

Hallo,

Schreibe den Term um in:

\( \lim\limits_{n\to\infty} \)  ( x^(1/n) -1)/(1/n)  -> 0/0 und dann weiter mit L'Hospital

Comments

Aber hatte ganz vergessen zu erwähnen, dass wir l'Hospital nicht verwenden dürfen...

Answer 2

Hallo,

setze x=e^t, dann gilt:

$$\begin{aligned} \lim_{n\to\infty}n\left(x^{1/n}-1\right) &=t\lim_{n\to\infty}\frac{e^{t/n}-1}{t/n}\\ &=t\lim_{u\to0}\frac{e^u-1}{u}\\[4pt] &=t\\[8pt] &=\log(x) \end{aligned}$$

Comments

Damit schiebst du das Problem nur in eine andere Ecke. Wie begründest du

\(\lim_{u\to0}\frac{e^u-1}{u} =1\) ohne l'Hospital?

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(Mir fällt momentan nur die Verwendung der Taylorreihe für e^u ein.)

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Dieser Grenzwert ist eine mögliche Definition der Zahl e. Er ergibt sich auch, wenn man die Exponentialfunktion über die entsprechende Reihe definiert.

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Vielen Dank!!!!!!

Dass \(\frac{e^{u}-1}{u} \to 1 \) für \(u \to 0 \) hatten wir tatsächlich bereits, wurde bei uns mit der Restgliedabschätzung bewiesen (auch wenn ich den Beweis nicht so ganz verstanden habe hehe)