Automorphismen bilden mit Komposition von Abbildungen als Verknüpfung eine Gruppe

Question

Sei V ein Vektorraum. Man zeige, dass die Menge GL(V) der Automorphismen von V mit der Komposition von Abbildungen als Verknüpfungen eine Gruppe bildet.

Ich hab nicht mal ein Ansatz und verstehe auch nicht wirklich die Fragestellung. Ich weiß, dass ein Automorph. ein bijektiver Endomorph. ist, aber das mit der Komposition versteh ich gar nicht.

Answer 1

es ist \( GL(V) \) abgeschlossen: Für \( f, g \in GL(V) \) gilt \( f \circ g \in GL(V) \).

Es ist \( id_V \) das neutrale Element und es gilt \( f \circ f^{-1} = f^{-1} \circ f = id_V \). \( f^{-1} \) ist hierbei die Umkehrabbildung der bijektiven Abbildung \( f \).

Mister

Comments

ist das jetzt schon als lösung gut? 

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Wenn alle Gruppeneigenschaften von \( (GL(V), \circ) \) gezeigt sind, dann ja.

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kannst du die mal genau zeigen bitte? ich kriegs nicht hin

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Also, wie ist denn eine Gruppe definiert?

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ich weiß schon was ich zeigen muss, also das es ein neutr. element gibt, ein inverses, dass das kommutuativ und assoziativgesetz gilt

aber wie mach ich das denn jetzt ? wie fang ich damit an? kannst du wenigstens für eins ein beispiel bitte geben?

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Das Kommutativgesetz muss nicht gelten. Dann hieße es ja eine kommutative Gruppe und nicht eine Gruppe.

Stimmt, das Assoziativgesetz habe ich noch nicht gezeigt, das musst du noch zeigen.

Es gibt übrigens nicht ein einziges Inverses, sondern zu jedem Element in der Gruppe gibt es ein Inverses.

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könntest du bitte mal zu einem ein beispiel geben?

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Die Gruppe der invertierbaren \(n \times n\)-Matrizen ist (für festes \( n \)) nicht kommutativ.