Wahrscheinlichkeit, dass unter 10 Befragten genau 7 Personen einen Führerschein besitzen

Question

(1) In einer Bevölkerungsgruppe haben 70% der Erwachsenen einen Führerschein. 10 erwachsene Personen werden zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter diesen 10 Befragten genau 7 Personen einen Führerschein besitzen.

(2) 21 von 30 Kindern einer Klasse kommen mit dem Bus zur Schule. Für eine Befragung werden 10 von 30 Kindern zufällig ausgewählt. Untersuchen Sie. mit welcher Wahrscheinlichkeit unter den 10 Befragten genau 7 Kinder sind, die mit dem Bus zu Schule kommen.

(3) Erläutern Sie den Unterschied bei den Berechnungen der Wahrscheinlichkeiten in (1) und (2). Begründen Sie, warum man in (1) einen Binomialansatz verwenden darf und in (2) nicht.

Comments

1)
(10 über 7)*0,7^7 *0,3^3

2)
Hypergeometrische Verteilung verwenden .

Lösung: 21/30*

3)

1)Binimialansatz = "mit zurücklegen" (Grundgesamtheit ist sehr groß und nicht bekannt)

2) = " ohne Zurücklegen" . Grundgesamtheit ist bekannt und relativ klein. Die Stichprobe ist relativ groß im Vergleich zur Grundgesamtheit.

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was ist eine hypergeometrische Verteilung

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Die hypergeometrische Verteilung verwendet man bei ziehen ohne Zurücklegen. Wenn man also bei jedem Zufallsversuch nicht die gleiche Wahrscheinlichkeit hat wie es beim ziehen mit Zurücklegen ist.

Gerade wenn die Menge sehr klein ist und man ohne Zurücklegen zieht muss man die sich ändernde Wahrscheinlichkeit berücksichtigen.

Genau genommen ist (1) auch ein ziehen ohne zurücklegen. Aber da die Bevölkerung so extrem groß ist ändert sich die Wahrscheinlichkeit nicht wesentlich, sodass man hier so tun kann als wenn man mit zurücklegen zieht.

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wie würde nun die rechnung mit dieser hypertonischen verteilung aussehen

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https://de.wikipedia.org/wiki/Hypergeometrische_Verteilung

Answer 1

In einer Bevölkerungsgruppe haben 70% der Erwachsenen einen Führerschein. 10 erwachsene Personen werden zufällig ausgewählt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass unter diesen 10 Befragten genau 7 Personen einen Führerschein besitzen.

(10 über 7)·0.7^7·0.3^{10 - 7} = 26.68%

21 von 30 Kindern einer Klasse kommen mit dem Bus zur Schule. Für eine Befragung werden 10 von 30 Kindern zufällig ausgewählt. Untersuchen Sie. mit welcher Wahrscheinlichkeit unter den 10 Befragten genau 7 Kinder sind, die mit dem Bus zu Schule kommen.

(21 über 7) * (9 über 3) / (30 über 10) = 32.51%

Erläutern Sie den Unterschied bei den Berechnungen der Wahrscheinlichkeiten in (1) und (2). Begründen Sie, warum man in (1) einen Binomialansatz verwenden darf und in (2) nicht.

Solange die Gruppe groß genug ist kann man so tun als wenn man mit zurücklegen zieht. Ist die Gruppe allerdings klein, dann ändert sich die Wahrscheinlichkeit merklich von Zug zu Zug und das wiederspricht der Binomialverteilung.