Zeigen von Rechenregeln in Körper K. Bsp. Aus x≠0_K und y≠0_K folgt x*y ≠ 0_K.

Question

a) Zeigen Sie (unter ausschlieblicher Verwendung der Körperaxiome), dass für beliebige Elemente \( x, y \) eines Körpers \( K \) mit Addition \( \oplus \) und Multiplikation \( \odot \) folgende Rechenregeln gelten! Dabei seien für \( x \in K \) das additive Inverse als \( \ominus x \) bezeichnet und \( x \ominus y:=x \oplus(\ominus y) \) sowie \( x^{2}:=x \odot x \) definiert.

(i) \( (x \oplus y)^{2}=x^{2} \oplus 2 x \odot y \oplus y^{2} \)

(ii) \( (x \oplus y) \odot(x \ominus y)=x^{2} \ominus y^{2} \)

(iii) Aus \( x \neq 0_{K} \) und \( y \neq 0_{K} \) folgt \( x \cdot y \neq 0_{K} \)

Bemerkung. Beachten Sie, dass das Symbol 2 hierbei nicht für ein Element des Körpers, sondern für die natiurliche Zahl Zwei steht, die nicht zu \( K \) gehören muss (denken Sie nur an den Körper \( \left.\mathbb{F}_{2}\right) ! \) Die Schreibweise \( 2 x \) für \( x \in K \) bedeutet nur \( x \oplus x \), und \( x^{2} \) steht als Abkürzung für \( x \odot x \). Ähnliches gilt für die natürliche Zahl \( n \) in Aufgabenteil b).

b) Nehmen Sie zusätzlich an, \( K \) sein ein angeordneter Körper und zeigen Sie, dass im Fall \( 0_{K}<y<x \) für alle positiven ganzen Zahlen \( n \)

\( x^{n}<y^{n} \)

gilt.

Answer 1

ich schreib mal das plus und mal ohne den Kringel drum:
zu (i):  Wenn du nur die Kö-axiome und deie Def'en nehmen darfst,
                     musst du es ganz kleinschrittig machen
(x+y)^2 =   (x+y)*(x+y)    [Definition von hoch 2]
             =    (x+y)*x    +  (x+y)*y   [Distibutiv hieß ja wohl a*(b+c) = a*b + a*c
                                                         hier ist a=(x+y),    b=x und c=y
             = ( x*x + y*x ) + (x*y + y*y) [ Jetzt assoziativ, aber auch bei a+(b+c) musst du
                                       bei ganz genauem Vorgehen sagen:
                                              die erste Klammer ist das a und b=x*y und c=y*y
            = ( (x*x + y*x) + x*y ) + y*y   wieder asso. diesmal in der vorderen Klammer
           = (  x*x  + ( y*x + xy) ) + y*y  jetzt kommutativ für mal auf y*x anwenden
         =  ( x*x +   ( x*y   +   x*y ))  +  y*y 
                                        2x*y ist ja nach der Bemerkung  x*y + x*y
                                       genauer müsste es sogar 2(x*y) nach meinem
                                       Gefühl heißen.
                                      Dann hast du statt der inneren Klammer genau das, und es gibt
         = ( x*x + 2xy ) +y*y   mit der gegebenen Def. von hoch 2
         =  (x^2   + 2xy)   +  y^2   und auch hier wäre dem Aufgabensteller vorzuhalten,
                                         dass er entweder eine Vereinbarung über das Weglassen
                                         "überflüssiger" Klammern hätte treffen müssen oder eine
                                         zusätzliche Definition der Art a+b+c = (a+b)+c
                                   Wenn man schon exakt sein will, dann aber doch bitte
                                       zu 100%    siehe auch oben bei 2(x*y)