Untervektorraum R^2 bestimmen

Question

ich habe bei folgender Aufgabe Probleme:

Es sei U= ⟨λ⌈2; 1⌉; λ∈ℝ⟩   (wobei 2 über 1 steht und die Zahlen in eckigen Klammern)

(a) Zeigen Sie, dass U ein Untervektorraum des ℝ² ist.

(b) Zeichnen sie U in ein Koordinatensystem ein.

(c) Beweisen oder  widerlegen Sie die folgenden Aussagen:

(i) Sind u,v∉U, dann ist stets u+v∉U

(ii) Sind u,v ∉U, dann ist stets u+v∈ U

(iii) Ist u ∉U und v∈U, dann ist stets u+v∉ U.

Ich hab so gar keine Ahnung wo ich anfangen könnte und wie ich das anstellen soll...

Answer 1

Hi,

(a) zeige, dass die Vektorraumeigenschaften eingeschränkt auf Elemente von U gelten.

(b) es handelt sich um eine Gerade. Zeichne den Vektor \( \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \) ein und verlänger ihn einfach in beide Richtung (denn das genau macht die Multiplikation mit einem beliebigen \( \lambda \in \mathbb{R} \)

(c)  (i) und (ii) sind falsch! Gegenbeispiel! Orientier dich an deiner Zeichnung

(iii) ist richtig, überlege dazu das ansonsten nach (a) gelten müsste u+v-v ∈ U

Gruß