Funktionsschar Definitionsbereich von: fp: x → f_p (x) = log_2 x - p / p* x ; x∈ D f_p ; p ∈ℝ^{+}

Question

Gegeben sei die Funktionsschar

f_p  :  x  → f_p  (x) = log₂ x   - p / p* x  ; x∈ D _{fp ;} p ∈ℝ⁺

a)  Bestimme den maximalen Def. bereich D_fp der Funktion f _p

b)  Welche Nullstellen hat die funktion f_p ?

c)  Welchen Punkt haben alle Funktionen der Funktionenschar f_p,  p∈ℝ⁺  gemeinsam ?

d)  Zeige Sie , das der Punkt aus  Teil c ) der einzige gemeinsame  Punkt der Funktionschar f_p, p∈ℝ⁺ ist.

e) Skizziere den Graphen f₂  für p = 2.

Untersuche zur  Anfertigung der Skizze die Funktion auf Nullstellen, Pole und (anhand von  Funktionswertberchenungen ) eventuell mögliche grenzwerte für x gegen unendlich.

Wäre jemand so lieb ?!

Gruß Pia

Answer 1

Gegeben sei die Funktionsschar

f_p  :  x  → f_p  (x) = (log₂ x   - p) / (p* x)  ; x∈ D _{fp ;} p ∈ℝ⁺           Klammern ?

a)  Bestimme den maximalen Def. bereich D_fp der Funktion f _p      x muss größer 0 sein

b)  Welche Nullstellen hat die funktion f_p ?

log₂ x   - p = 0    gibt log₂ x   = p    also  x = 2^p

c)  Welchen Punkt haben alle Funktionen der Funktionenschar f_p,  p∈ℝ⁺  gemeinsam ?

(log₂ x   - p) / (p* x)    =    (log₂ x   - p1) / (p1* x)

(log₂ x   - p) * (p1* x)    =    (log₂ x   - p1) *(p* x) da x>0 kannst du durch x teilen

(log₂ x   - p) * p1    =    (log₂ x   - p1) *p

p1*log₂ x     =   p*log₂ x

p1*log₂ x     -   p*log₂ x  =0

(p1-p) *log₂ x  =0

also entweder p=p1  oder log₂ x  =0 also x=1

d.h. zwei verschiedene Graphen (p ungleich p1) schneiden sich immer für x=1

also ist der Punkt (1;  -1) allen gemeinsam.

d)  Zeige Sie , das der Punkt aus  Teil c ) der einzige gemeinsame  Punkt der Funktionschar f_p, p∈ℝ⁺ ist.

s.o.

e) Skizziere den Graphen f₂  für p = 2.